Номер 15, страница 317 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 8. Твёрдые тела и их превращение в жидкости. Параграф 8.10. Примеры решения задач. Упражнение 7 - номер 15, страница 317.

Условие.

15. Два одинаковых кусочка льда летят навстречу друг другу с равными по модулю скоростями и при ударе обращаются в пар. Оцените минимально возможные скорости льдинок перед ударом, если их температура равна $-12 ^{\circ}\text{C}$. Удельная теплоёмкость льда $c = 2,1 \cdot 10^3 \, \text{Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$. Удельная теплота плавления льда при $0 ^{\circ}\text{C}$ $\, \lambda = 3,34 \cdot 10^5 \, \text{Дж}/\text{кг}$.

Решение.

Дано:

$t_1 = -12$ °C (начальная температура льда)

$c = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) (удельная теплоёмкость льда)

$\lambda = 3,34 \cdot 10^5$ Дж/кг (удельная теплота плавления льда)

Поскольку лёд превращается в пар, нам также понадобятся справочные величины для воды:

$t_{пл} = 0$ °C (температура плавления льда)

$t_{кип} = 100$ °C (температура кипения воды)

$c_{воды} = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) (удельная теплоёмкость воды)

$L = 2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг (удельная теплота парообразования воды)

Все данные представлены в системе СИ или совместимы с ней (разница температур в °C равна разнице в K), поэтому перевод не требуется.

Найти:

$\text{v}$ - минимально возможная скорость льдинок перед ударом.

Решение:

По условию, два одинаковых куска льда летят навстречу друг другу с равными по модулю скоростями. При ударе они полностью превращаются в пар. Это означает, что вся их суммарная кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию, то есть в теплоту, необходимую для нагрева, плавления, последующего нагрева и испарения всего льда.

Пусть масса каждого куска льда равна $\text{m}$, а его скорость равна $\text{v}$. Тогда суммарная кинетическая энергия системы из двух кусков льда до удара равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для превращения всего льда (общей массой $\text{2m}$) в пар при температуре 100 °C, складывается из четырёх этапов:

1. Нагревание льда от начальной температуры $t_1 = -12$ °C до температуры плавления $t_{пл} = 0$ °C:

$Q_1 = c \cdot (2m) \cdot (t_{пл} - t_1)$

2. Плавление льда при температуре $t_{пл} = 0$ °C:

$Q_2 = \lambda \cdot (2m)$

3. Нагревание полученной воды от $t_{пл} = 0$ °C до температуры кипения $t_{кип} = 100$ °C:

$Q_3 = c_{воды} \cdot (2m) \cdot (t_{кип} - t_{пл})$

4. Превращение воды в пар при температуре $t_{кип} = 100$ °C:

$Q_4 = L \cdot (2m)$

Общее количество теплоты $Q_{общ}$ равно сумме этих величин:

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 2m \cdot (c(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{воды}(t_{кип} - t_{пл}) + L)$

Согласно закону сохранения энергии, вся кинетическая энергия переходит в теплоту:

$E_k = Q_{общ}$

$mv^2 = 2m \cdot (c(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{воды}(t_{кип} - t_{пл}) + L)$

Масса $\text{m}$ сокращается, что означает, что результат не зависит от размера кусков льда.

$v^2 = 2 \cdot (c(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{воды}(t_{кип} - t_{пл}) + L)$

Отсюда находим скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{2 \cdot (c(t_{пл} - t_1) + \lambda + c_{воды}(t_{кип} - t_{пл}) + L)}$

Подставим числовые значения:

$t_{пл} - t_1 = 0 - (-12) = 12$ °C = 12 K

$t_{кип} - t_{пл} = 100 - 0 = 100$ °C = 100 K

$v = \sqrt{2 \cdot (2,1 \cdot 10^3 \cdot 12 + 3,34 \cdot 10^5 + 4,2 \cdot 10^3 \cdot 100 + 2,26 \cdot 10^6)}$

$v = \sqrt{2 \cdot (25200 + 334000 + 420000 + 2260000)}$

$v = \sqrt{2 \cdot (3039200)}$

$v = \sqrt{6078400} \approx 2465,4$ м/с

Поскольку в задаче просят оценить скорость, результат можно округлить.

$v \approx 2,5 \cdot 10^3$ м/с, или $2,5$ км/с.

Ответ: минимально возможная скорость льдинок перед ударом составляет приблизительно $2465$ м/с, или $2,5$ км/с.