Номер 2, страница 88 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 26. Принцип относительности Галилея. Инвариантные и относительные величины. Глава 2. Законы механики Ньютона - номер 2, страница 88.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Для записи уравнений движения необходимо выбрать систему отсчета (тело отсчета и связанную с ним систему координат) и описать изменение координат движущегося тела с течением времени в этой системе.

1) пассажира, идущего вдоль вагона движущегося поезда, относительно вагона и относительно человека, стоящего на перроне;

Для решения этой задачи введем две системы отсчета. Подвижную систему отсчета $K'$ свяжем с вагоном, а неподвижную систему отсчета $K$ — с перроном, на котором стоит человек. Для простоты будем считать, что поезд движется прямолинейно, и направим ось $Ox$ обеих систем вдоль направления движения.

Уравнение движения пассажира относительно вагона.

В системе отсчета $K'$, связанной с вагоном, движение пассажира является прямолинейным. Предположим, что пассажир движется с постоянной скоростью $v'_{п}$ относительно вагона. Если в начальный момент времени $t=0$ его координата была $x'_{п0}$, то его координата $x'_{п}$ в любой последующий момент времени $t$ будет описываться уравнением:

$x'_{п}(t) = x'_{п0} + v'_{п}t$

Уравнение движения пассажира относительно человека, стоящего на перроне.

В системе отсчета $K$, связанной с перроном, движение пассажира является сложным. Оно складывается из движения самого поезда относительно перрона и движения пассажира относительно поезда. Согласно принципу относительности Галилея (или классическому закону сложения движений), координата пассажира в неподвижной системе $x_п$ равна сумме координаты начала подвижной системы (вагона) $x_в$ и координаты пассажира в подвижной системе $x'_{п}$.

$x_п(t) = x_в(t) + x'_{п}(t)$

Предположим, что поезд движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v_в$ относительно перрона, и в начальный момент времени $t=0$ координата начала вагона была $x_{в0}$. Тогда уравнение движения вагона: $x_в(t) = x_{в0} + v_в t$. Подставляя уравнения для $x_в(t)$ и $x'_{п}(t)$, получим полное уравнение движения пассажира относительно перрона:

$x_п(t) = (x_{в0} + v_в t) + (x'_{п0} + v'_{п}t) = (x_{в0} + x'_{п0}) + (v_в + v'_{п})t$

Здесь $(x_{в0} + x'_{п0})$ — это начальная координата пассажира относительно перрона $x_{п0}$, а $(v_в + v'_{п})$ — это его скорость относительно перрона $v_п$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$x_п(t) = x_{п0} + (v_в + v'_{п})t$

Ответ: Уравнение движения пассажира относительно вагона: $x'_{п}(t) = x'_{п0} + v'_{п}t$. Уравнение движения пассажира относительно человека на перроне: $x_п(t) = x_{п0} + (v_в + v'_{п})t$, где $x'_{п}$ и $x_п$ — координаты пассажира в системе отсчета вагона и перрона соответственно, $v'_{п}$ — скорость пассажира относительно вагона, $v_в$ — скорость вагона относительно перрона, $x'_{п0}$ и $x_{п0}$ — соответствующие начальные координаты.

2) машины, движущейся вдоль экватора, относительно Земли и Солнца.

Уравнение движения машины относительно Земли.

Машина движется по поверхности Земли вдоль экватора, то есть по окружности радиусом $R_З$ (радиус Земли). Удобно описывать такое движение с помощью угловой координаты $\phi$ (например, географической долготы). Пусть машина движется с постоянной угловой скоростью $\omega'_{м}$ относительно поверхности Земли. Если ее начальная угловая координата при $t=0$ была $\phi'_{м0}$, то уравнение ее движения:

$\phi'_{м}(t) = \phi'_{м0} + \omega'_{м}t$

Уравнение движения машины относительно Солнца.

Это движение является результатом сложения трех движений: движения машины по экватору, суточного вращения Земли вокруг своей оси и годового обращения Земли вокруг Солнца. Для построения уравнения сделаем следующие упрощения:

• Считаем орбиту Земли вокруг Солнца и экватор окружностями, лежащими в одной плоскости (игнорируем наклон земной оси и эллиптичность орбиты).
• Все движения (машины, вращение Земли, обращение Земли) происходят с постоянными угловыми скоростями.

Введем гелиоцентрическую (с началом в центре Солнца) систему координат $(X, Y)$. Положение машины $\vec{r}_м$ в этой системе определяется по закону сложения движений:

$\vec{r}_м(t) = \vec{R}_З(t) + \vec{r}'_м(t)$

где $\vec{R}_З(t)$ — радиус-вектор центра Земли относительно Солнца, а $\vec{r}'_м(t)$ — радиус-вектор машины относительно центра Земли.

Запишем уравнения в координатах, положив для простоты все начальные фазы равными нулю.

1. Движение центра Земли относительно Солнца. Это движение по орбите радиусом $R_{орб}$ с годовой угловой скоростью $\Omega_З$.

$X_З(t) = R_{орб} \cos(\Omega_З t)$

$Y_З(t) = R_{орб} \sin(\Omega_З t)$

2. Движение машины относительно центра Земли. Машина находится на экваторе (окружность радиусом $R_З$). Ее полное вращение относительно центра Земли складывается из суточного вращения Земли (с угловой скоростью $\omega_З$) и собственного движения машины относительно поверхности Земли (с угловой скоростью $\omega'_{м}$). Суммарная угловая скорость в инерциальной системе, связанной с центром Земли, равна $\omega_{полн} = \omega_З + \omega'_{м}$.

$x'_м(t) = R_З \cos((\omega_З + \omega'_{м})t)$

$y'_м(t) = R_З \sin((\omega_З + \omega'_{м})t)$

Итоговые параметрические уравнения движения машины относительно Солнца получаются сложением соответствующих координат:

$X_м(t) = R_{орб} \cos(\Omega_З t) + R_З \cos((\omega_З + \omega'_{м})t)$

$Y_м(t) = R_{орб} \sin(\Omega_З t) + R_З \sin((\omega_З + \omega'_{м})t)$

Эта система уравнений описывает траекторию, похожую на эпициклоиду.

Ответ: Уравнение движения машины относительно Земли (в угловых координатах): $\phi'_{м}(t) = \phi'_{м0} + \omega'_{м}t$. Параметрические уравнения движения машины относительно Солнца (при сделанных упрощающих допущениях):

$X_м(t) = R_{орб} \cos(\Omega_З t) + R_З \cos((\omega_З + \omega'_{м})t)$

$Y_м(t) = R_{орб} \sin(\Omega_З t) + R_З \sin((\omega_З + \omega'_{м})t)$

где $\phi'_{м}$ — угловая координата машины на поверхности Земли, $\omega'_{м}$ — ее угловая скорость относительно Земли; $X_м, Y_м$ — координаты машины в гелиоцентрической системе; $R_{орб}, \Omega_З$ — радиус и угловая скорость орбиты Земли; $R_З, \omega_З$ — экваториальный радиус и угловая скорость вращения Земли.