Номер 1, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Покажите тождественность записи второго закона Ньютона относительно разных инерциальных систем отсчёта (используйте классический закон сложения скоростей).

Для доказательства тождественности (инвариантности) второго закона Ньютона в разных инерциальных системах отсчета (ИСО) рассмотрим две такие системы:

• Система отсчета $K$, которую условно будем считать неподвижной.
• Система отсчета $K'$, которая движется относительно системы $K$ с постоянной скоростью $\vec{v}_0$.

По определению, инерциальные системы отсчета — это системы, в которых выполняется первый закон Ньютона. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы поступательно, прямолинейно и равномерно, также является инерциальной.

Решение

1. Запишем второй закон Ньютона для материальной точки массой $m$ в системе отсчета $K$:

$\vec{F} = m\vec{a}$

где $\vec{F}$ — равнодействующая всех сил, действующих на точку, а $\vec{a}$ — ускорение точки в системе $K$.

2. Используем классический закон сложения скоростей (который следует из преобразований Галилея) для связи скоростей точки в системах $K$ и $K'$. Пусть $\vec{v}$ — скорость точки в системе $K$, а $\vec{v'}$ — ее скорость в системе $K'$. Тогда:

$\vec{v} = \vec{v'} + \vec{v}_0$

3. Найдем связь между ускорениями точки в этих двух системах. Ускорение — это производная скорости по времени. Продифференцируем левую и правую части закона сложения скоростей по времени $t$:

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{v'} + \vec{v}_0) = \frac{d\vec{v'}}{dt} + \frac{d\vec{v}_0}{dt}$

Здесь $\frac{d\vec{v'}}{dt} = \vec{a'}$ — это ускорение точки в системе $K'$. Поскольку система $K'$ движется относительно $K$ с постоянной скоростью $\vec{v}_0$, производная от постоянного вектора по времени равна нулю: $\frac{d\vec{v}_0}{dt} = 0$.

Таким образом, мы получаем важнейшее соотношение:

$\vec{a} = \vec{a'}$

Это означает, что ускорение тела одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

4. Рассмотрим силы. В классической (ньютоновской) механике силы взаимодействия между телами зависят только от их взаимного расположения и относительных скоростей, но не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Следовательно, равнодействующая сила, измеренная в системе $K$, равна равнодействующей силе, измеренной в системе $K'$:

$\vec{F} = \vec{F'}$

5. Теперь подставим полученные равенства ($\vec{a} = \vec{a'}$ и $\vec{F} = \vec{F'}$) в исходное уравнение второго закона Ньютона, записанное для системы $K$:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Заменяя $\vec{F}$ на $\vec{F'}$ и $\vec{a}$ на $\vec{a'}$, получаем:

$\vec{F'} = m\vec{a'}$

Это уравнение является записью второго закона Ньютона для системы отсчета $K'$ и имеет в точности такой же вид, как и в системе $K$.

Таким образом, мы показали, что форма второго закона Ньютона не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это и есть принцип относительности Галилея.

Ответ: Тождественность записи второго закона Ньютона в разных инерциальных системах отсчета следует из того, что при переходе между такими системами (используя классический закон сложения скоростей) ускорение материальной точки не изменяется ($\vec{a} = \vec{a'}$), как и действующая на нее сила ($\vec{F} = \vec{F'}$). Вследствие этого уравнение $\vec{F} = m\vec{a}$ сохраняет свой вид ($\vec{F'} = m\vec{a'}$) во всех инерциальных системах отсчета.