Номер 3, страница 281 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 85. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Глава 13. Основы термодинамики - номер 3, страница 281.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Начертите серию изотерм и серию адиабат в координатах p, V.

Изотермический процесс для идеального газа описывается законом Бойля-Мариотта. При постоянной температуре ($T = \text{const}$) произведение давления $p$ на объем $V$ остается постоянным:

$pV = \nu R T = \text{const}$

В координатах $p, V$ это уравнение представляет собой гиперболу ($p = \frac{\text{const}}{V}$). Серия изотерм — это семейство гипербол. Чем выше температура $T$, тем дальше от начала координат расположена соответствующая изотерма.

Адиабатический процесс происходит без теплообмена с окружающей средой ($Q = 0$). Он описывается уравнением Пуассона:

$pV^\gamma = \text{const}$

Здесь $\gamma$ — показатель адиабаты, который для идеального газа всегда больше единицы ($\gamma = C_p/C_V > 1$). График адиабаты в координатах $p, V$ также является убывающей кривой ($p = \frac{\text{const}}{V^\gamma}$), но она идет круче, чем изотерма, так как давление падает с ростом объема быстрее (поскольку $\gamma > 1$).

Графическое представление серий изотерм и адиабат выглядит следующим образом:

На графике синие пунктирные линии – это изотермы, а красные сплошные линии – это адиабаты. Видно, что адиабаты пересекают изотермы и являются более крутыми кривыми.

Ответ: Графики изотерм и адиабат представляют собой семейства кривых в координатах $p, V$. Изотермы — это гиперболы, описываемые уравнением $pV=\text{const}$. Адиабаты — это кривые, описываемые уравнением $pV^\gamma=\text{const}$, которые являются более крутыми, чем изотермы, поскольку показатель адиабаты $\gamma>1$.

Убедитесь, что у каждой адиабаты только одна точка пересечения с каждой изотермой.

Чтобы найти точки пересечения адиабаты и изотермы, необходимо решить систему уравнений, описывающих эти два процесса.

1. Уравнение изотермы: $pV = C_1$, где $C_1 = \nu R T$ — положительная константа для данной изотермы.

2. Уравнение адиабаты: $pV^\gamma = C_2$, где $C_2$ — положительная константа для данной адиабаты, а $\gamma > 1$.

Выразим давление $p$ из первого уравнения:

$p = \frac{C_1}{V}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\left(\frac{C_1}{V}\right)V^\gamma = C_2$

Упростим полученное выражение:

$C_1 V^{\gamma-1} = C_2$

Отсюда найдем объем $V$:

$V^{\gamma-1} = \frac{C_2}{C_1}$

$V = \left(\frac{C_2}{C_1}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$

Поскольку физические величины — давление $p$, объем $V$, температура $T$ — всегда положительны, константы $C_1$ и $C_2$ также положительны. Показатель адиабаты $\gamma$ строго больше 1, следовательно, показатель степени $\frac{1}{\gamma-1}$ является конечным положительным числом. Это означает, что для любой заданной пары констант $C_1$ и $C_2$ (то есть для любой выбранной изотермы и любой выбранной адиабаты) существует только одно положительное значение объема $V$, при котором они пересекаются.

Найдя единственное значение $V$, мы можем однозначно определить соответствующее давление $p$ из уравнения изотермы: $p = C_1/V$.

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение $(V, p)$, что доказывает, что любая адиабата пересекает любую изотерму ровно в одной точке.

Ответ: Математическое решение системы уравнений для изотермы ($pV=C_1$) и адиабаты ($pV^\gamma=C_2$) дает единственное решение для координат $(p, V)$, так как для физически осмысленных положительных констант $C_1$, $C_2$ и $\gamma>1$ существует единственное положительное значение объема $V = (C_2/C_1)^{1/(\gamma-1)}$ и соответствующее ему единственное значение давления $p$. Это означает, что кривые пересекаются только в одной точке.