Номер 1208, страница 159 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1208. Найти энергию связи ядра $E_{\text{св}}$ и удельную энергию связи $E_{\text{св}}/A$ для: 1) $^2_1\text{H}$; 2) $^6_3\text{Li}$; 3) $^7_3\text{Li}$; 4) $^{12}_6\text{C}$; 5) $^{16}_8\text{O}$; 6) $^{27}_{13}\text{Al}$.

Энергия связи ядра ($E_{св}$) — это энергия, которая необходима для полного расщепления ядра на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны). Она определяется дефектом масс ($\Delta m$) по формуле Эйнштейна $E = \Delta m c^2$. Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов, из которых состоит ядро, и массой самого ядра.

Формула для дефекта масс ядра $ _{Z}^{A}\text{X} $:

$ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - M_{я} $

где $Z$ — число протонов (зарядовое число), $A$ — общее число нуклонов (массовое число), $N=A-Z$ — число нейтронов, $m_p$ — масса протона, $m_n$ — масса нейтрона, $M_{я}$ — масса ядра.

На практике удобнее использовать массы нейтральных атомов. Масса ядра связана с массой атома ($M_{атом}$) соотношением $M_{я} = M_{атом} - Z \cdot m_e$, где $m_e$ — масса электрона. Тогда формула для дефекта масс преобразуется к виду:

$ \Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - (M_{атом} - Z \cdot m_e) = Z \cdot (m_p + m_e) + N \cdot m_n - M_{атом} $

Так как масса атома водорода $ _{1}^{1}\text{H}$ практически равна сумме масс протона и электрона ($m_H \approx m_p + m_e$), формула для дефекта масс принимает удобный для расчетов вид:

$ \Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_{атом} $

Энергия связи вычисляется как $ E_{св} = \Delta m \cdot c^2 $. При расчетах в атомных единицах массы (а.е.м.) используется энергетический эквивалент $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$. Тогда:

$ E_{св} (\text{МэВ}) = \Delta m (\text{а.е.м.}) \cdot 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} $

Удельная энергия связи — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон в ядре:

$ E_{уд} = \frac{E_{св}}{A} $

Масса атома водорода $m_H = 1.007825$ а.е.м.
Масса нейтрона $m_n = 1.008665$ а.е.м.
Масса атома дейтерия $M_a(_{1}^{2}\text{H}) = 2.014102$ а.е.м.
Масса атома лития-6 $M_a(_{3}^{6}\text{Li}) = 6.015122$ а.е.м.
Масса атома лития-7 $M_a(_{3}^{7}\text{Li}) = 7.016004$ а.е.м.
Масса атома углерода-12 $M_a(_{6}^{12}\text{C}) = 12.000000$ а.е.м.
Масса атома кислорода-16 $M_a(_{8}^{16}\text{O}) = 15.994915$ а.е.м.
Масса атома алюминия-27 $M_a(_{13}^{27}\text{Al}) = 26.981538$ а.е.м.
Энергетический эквивалент массы $k = 931.5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}$

Энергию связи $E_{св}$ и удельную энергию связи $E_{св}/A$ для каждого из ядер.

1) $ _{1}^{2}\text{H} $

Ядро дейтерия состоит из $Z=1$ протона и $N=2-1=1$ нейтрона. Массовое число $A=2$.
Сумма масс составляющих частиц (атомов водорода и нейтронов):
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 1 \cdot 1.007825 + 1 \cdot 1.008665 = 2.016490 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - M_a(_{1}^{2}\text{H}) = 2.016490 - 2.014102 = 0.002388 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.002388 \cdot 931.5 \approx 2.224 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{2.224 \text{ МэВ}}{2} = 1.112 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 2.224$ МэВ, $E_{св}/A \approx 1.112$ МэВ/нуклон.

2) $ _{3}^{6}\text{Li} $

Ядро лития-6 состоит из $Z=3$ протонов и $N=6-3=3$ нейтронов. Массовое число $A=6$.
Сумма масс составляющих частиц:
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 3 \cdot 1.007825 + 3 \cdot 1.008665 = 3.023475 + 3.025995 = 6.049470 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = 6.049470 - M_a(_{3}^{6}\text{Li}) = 6.049470 - 6.015122 = 0.034348 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.034348 \cdot 931.5 \approx 32.00 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{32.00 \text{ МэВ}}{6} \approx 5.33 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 32.00$ МэВ, $E_{св}/A \approx 5.33$ МэВ/нуклон.

3) $ _{3}^{7}\text{Li} $

Ядро лития-7 состоит из $Z=3$ протонов и $N=7-3=4$ нейтронов. Массовое число $A=7$.
Сумма масс составляющих частиц:
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 3 \cdot 1.007825 + 4 \cdot 1.008665 = 3.023475 + 4.034660 = 7.058135 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = 7.058135 - M_a(_{3}^{7}\text{Li}) = 7.058135 - 7.016004 = 0.042131 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.042131 \cdot 931.5 \approx 39.24 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{39.24 \text{ МэВ}}{7} \approx 5.61 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 39.24$ МэВ, $E_{св}/A \approx 5.61$ МэВ/нуклон.

4) $ _{6}^{12}\text{C} $

Ядро углерода-12 состоит из $Z=6$ протонов и $N=12-6=6$ нейтронов. Массовое число $A=12$.
Сумма масс составляющих частиц:
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 6 \cdot 1.007825 + 6 \cdot 1.008665 = 6.04695 + 6.05199 = 12.09894 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = 12.09894 - M_a(_{6}^{12}\text{C}) = 12.09894 - 12.000000 = 0.09894 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.09894 \cdot 931.5 \approx 92.16 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{92.16 \text{ МэВ}}{12} = 7.68 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 92.16$ МэВ, $E_{св}/A = 7.68$ МэВ/нуклон.

5) $ _{8}^{16}\text{O} $

Ядро кислорода-16 состоит из $Z=8$ протонов и $N=16-8=8$ нейтронов. Массовое число $A=16$.
Сумма масс составляющих частиц:
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 8 \cdot 1.007825 + 8 \cdot 1.008665 = 8.06260 + 8.06932 = 16.13192 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = 16.13192 - M_a(_{8}^{16}\text{O}) = 16.13192 - 15.994915 = 0.137005 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.137005 \cdot 931.5 \approx 127.62 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{127.62 \text{ МэВ}}{16} \approx 7.98 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 127.62$ МэВ, $E_{св}/A \approx 7.98$ МэВ/нуклон.

6) $ _{13}^{27}\text{Al} $

Ядро алюминия-27 состоит из $Z=13$ протонов и $N=27-13=14$ нейтронов. Массовое число $A=27$.
Сумма масс составляющих частиц:
$ Z \cdot m_H + N \cdot m_n = 13 \cdot 1.007825 + 14 \cdot 1.008665 = 13.101725 + 14.12131 = 27.223035 $ а.е.м.
Дефект масс:
$ \Delta m = 27.223035 - M_a(_{13}^{27}\text{Al}) = 27.223035 - 26.981538 = 0.241497 $ а.е.м.
Энергия связи:
$ E_{св} = \Delta m \cdot k = 0.241497 \cdot 931.5 \approx 224.95 $ МэВ.
Удельная энергия связи:
$ E_{св}/A = \frac{224.95 \text{ МэВ}}{27} \approx 8.33 \frac{\text{МэВ}}{\text{нуклон}} $.

Ответ: $E_{св} \approx 224.95$ МэВ, $E_{св}/A \approx 8.33$ МэВ/нуклон.