Номер 2, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

2. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600 км над поверхностью Земли? Каков будет период его обращения?

Дано:

Высота орбиты $h = 600$ км.
Для решения задачи используются справочные данные:
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли $M_З \approx 6 \times 10^{24}$ кг
Средний радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

$h = 600 \text{ км} = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \times 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v$ — скорость спутника
$T$ — период обращения спутника

Решение:

Движение искусственного спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной, она удерживает спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона, можно приравнять силу гравитационного притяжения и центростремительную силу:

$F_г = F_{цс}$

Сила гравитационного притяжения ($F_г$) и центростремительная сила ($F_{цс}$) выражаются формулами:

$F_г = G \frac{M_З m}{r^2}$
$F_{цс} = \frac{mv^2}{r}$

Здесь $m$ — масса спутника, $v$ — его орбитальная скорость, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$:

$r = R_З + h = 6.4 \times 10^6 \text{ м} + 6 \times 10^5 \text{ м} = 7.0 \times 10^6 \text{ м}$

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Выразим из этого уравнения скорость $v$ (эта скорость также называется первой космической скоростью для данной высоты):

$v^2 = \frac{G M_З}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Теперь подставим числовые значения и рассчитаем скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 6 \times 10^{24}}{7.0 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{4.002 \times 10^{14}}{7.0 \times 10^6}} \approx \sqrt{0.5717 \times 10^8} \approx 7561 \text{ м/с}$

Для наглядности переведем скорость в километры в секунду: $v \approx 7.56 \text{ км/с}$.

Далее определим период обращения спутника $T$. Период — это время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг Земли. Длина круговой орбиты (длина окружности) равна $L = 2\pi r$. Двигаясь с постоянной скоростью $v$, спутник пройдет это расстояние за время $T$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим вычисленные значения радиуса орбиты и скорости:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 7.0 \times 10^6 \text{ м}}{7561 \text{ м/с}} \approx \frac{4.3982 \times 10^7 \text{ м}}{7561 \text{ м/с}} \approx 5817 \text{ с}$

Этот результат можно также выразить в минутах для лучшего представления: $T \approx \frac{5817 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 97$ минут.

Ответ:

скорость спутника должна быть приблизительно $7561$ м/с (или $7.56$ км/с), а период его обращения составит приблизительно $5817$ с (или $97$ минут).