Номер 3, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

3. Во сколько раз отличается скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км над поверхностью Земли, от скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано:

Высота орбиты первого спутника $h_1 = 21\,600 \text{ км}$
Высота орбиты второго спутника $h_2 = 600 \text{ км}$
Радиус Земли $R_З = 6400 \text{ км}$

$h_1 = 21600 \text{ км} = 21600 \cdot 10^3 \text{ м} = 2,16 \cdot 10^7 \text{ м}$
$h_2 = 600 \text{ км} = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Во сколько раз отличаются скорости спутников. Обозначим скорость на высоте $h_1$ как $v_1$, а на высоте $h_2$ как $v_2$. Найдем их отношение.

Решение:

Спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, удерживается на ней силой всемирного тяготения. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и произведение массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_г = ma_ц$

Сила тяготения, действующая на спутник, описывается законом всемирного тяготения:

$F_г = G\frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, а $r$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение для движения по окружности определяется как $a_ц = \frac{v^2}{r}$, где $v$ — орбитальная скорость спутника.

Подставим выражения для силы и ускорения в исходное уравнение:

$G\frac{M_З m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $m$ и один радиус $r$ в обеих частях уравнения. Отсюда можно выразить квадрат скорости, а затем и саму скорость:

$v^2 = \frac{GM_З}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.

Рассчитаем радиусы орбит для обоих спутников:

Для первого спутника: $r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 21600 \text{ км} = 28000 \text{ км}$.

Для второго спутника: $r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$.

Теперь запишем выражения для скоростей $v_1$ и $v_2$:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM_З}{r_1}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{GM_З}{r_2}}$

Чтобы найти, во сколько раз отличаются скорости, найдем их отношение. Поскольку $r_1 > r_2$, то $v_1 < v_2$. Найдем отношение большей скорости к меньшей:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{r_2}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{r_1}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{r_2} \cdot \frac{r_1}{GM_З}} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$

Подставим числовые значения радиусов орбит. Поскольку мы вычисляем отношение, можно использовать значения в километрах, так как единицы измерения сократятся.

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{28000}{7000}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, скорость спутника на высоте 600 км в 2 раза больше, чем скорость спутника на высоте 21 600 км.

Ответ: скорость спутника, движущегося на высоте 21 600 км над поверхностью Земли, в 2 раза меньше скорости спутника, движущегося на высоте 600 км.