Номер 4, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. С космодрома Байконур 12 сентября 1959 г. стартовала ракета «Восток-Л». Она вывела на траекторию полета к естественному спутнику Земли Луне автоматическую межпланетную станцию (АМС) «Луна-2», которая на следующий день впервые в мире достигла поверхности Луны и совершила жесткую посадку на ее поверхность (рис. 25). Во сколько раз уменьшилась сила тяготения Земли, действующая на АМС в моменты, когда она удалилась от поверхности планеты на расстояние равное $R_3$?, $2R_3$?, $3R_3$?

Рис. 25. АМС «Луна-2»

Дано:

$h_1 = R_З$

$h_2 = 2R_З$

$h_3 = 3R_З$

где $h$ — расстояние от поверхности Земли, а $R_З$ — радиус Земли.

Найти:

Во сколько раз уменьшится сила тяготения по сравнению с силой на поверхности Земли для каждого случая: $\frac{F_0}{F_1}$, $\frac{F_0}{F_2}$, $\frac{F_0}{F_3}$.

Решение:

Сила всемирного тяготения, действующая на автоматическую межпланетную станцию (АМС), определяется по закону всемирного тяготения:

$F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса АМС, а $r$ — расстояние от центра Земли до АМС.

Силу тяготения, действующую на АМС на поверхности Земли (будем считать ее начальной, $F_0$), можно рассчитать, приняв расстояние до центра Земли равным ее радиусу $R_З$:

$F_0 = G \frac{M \cdot m}{R_З^2}$

Когда АМС удаляется от поверхности Земли на расстояние $h$, общее расстояние от центра Земли до станции становится равным $r = R_З + h$.

Найдем, во сколько раз уменьшится сила тяготения для каждого из трех заданных расстояний от поверхности.

$R_З$

Когда АМС удалилась от поверхности на расстояние $h_1 = R_З$, расстояние от центра Земли до станции стало:

$r_1 = R_З + h_1 = R_З + R_З = 2R_З$

Сила тяготения $F_1$ на этом расстоянии равна:

$F_1 = G \frac{M \cdot m}{r_1^2} = G \frac{M \cdot m}{(2R_З)^2} = G \frac{M \cdot m}{4R_З^2}$

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась сила, найдем отношение $F_0$ к $F_1$:

$\frac{F_0}{F_1} = \frac{G \frac{M \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M \cdot m}{4R_З^2}} = 4$

Ответ: Сила тяготения уменьшилась в 4 раза.

$2R_З$

Когда АМС удалилась от поверхности на расстояние $h_2 = 2R_З$, расстояние от центра Земли до станции стало:

$r_2 = R_З + h_2 = R_З + 2R_З = 3R_З$

Сила тяготения $F_2$ на этом расстоянии равна:

$F_2 = G \frac{M \cdot m}{r_2^2} = G \frac{M \cdot m}{(3R_З)^2} = G \frac{M \cdot m}{9R_З^2}$

Найдем отношение $F_0$ к $F_2$:

$\frac{F_0}{F_2} = \frac{G \frac{M \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M \cdot m}{9R_З^2}} = 9$

Ответ: Сила тяготения уменьшилась в 9 раз.

$3R_З$

Когда АМС удалилась от поверхности на расстояние $h_3 = 3R_З$, расстояние от центра Земли до станции стало:

$r_3 = R_З + h_3 = R_З + 3R_З = 4R_З$

Сила тяготения $F_3$ на этом расстоянии равна:

$F_3 = G \frac{M \cdot m}{r_3^2} = G \frac{M \cdot m}{(4R_З)^2} = G \frac{M \cdot m}{16R_З^2}$

Найдем отношение $F_0$ к $F_3$:

$\frac{F_0}{F_3} = \frac{G \frac{M \cdot m}{R_З^2}}{G \frac{M \cdot m}{16R_З^2}} = 16$

Ответ: Сила тяготения уменьшилась в 16 раз.