Страница 13 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.27. Диагональ $AC$ равнобокой трапеции $ABCD$ ($AB = CD$) делит угол $BAD$ пополам (рис. 1.20). Точка $E$ — середина отрезка $AB$. Прямая, проходящая через точку $E$ параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок $AC$ в точке $K$, а отрезок $CD$ — в точке $F$. Найдите периметр трапеции $ABCD$, если $EK = 3 \text{ см}$, $KF = 5 \text{ см}$.

Рис. 1.20

Поскольку основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC || AD$), а $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны. По условию задачи, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, что означает $∠BAC = ∠CAD$. Из этих двух равенств следует, что $∠BCA = ∠BAC$. Это свойство равнобедренного треугольника, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Трапеция $ABCD$ является равнобокой, поэтому по определению $AB = CD$. Объединяя это с результатом из предыдущего пункта, мы получаем равенство трех сторон трапеции: $AB = BC = CD$.

Прямая, проходящая через точку $E$ (середину стороны $AB$) и параллельная основаниям трапеции, является ее средней линией $EF$. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем точка $E$ — середина стороны $AB$, а отрезок $EK$ параллелен стороне $BC$ (так как вся средняя линия $EF$ параллельна основаниям). По теореме о средней линии треугольника, отрезок $EK$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, его длина равна половине длины стороны $BC$.

Используя данные из условия ($EK = 3$ см), найдем длину меньшего основания $BC$:
$BC = 2 \cdot EK = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Так как $AB = BC = CD$, то длины боковых сторон также равны 6 см: $AB = 6$ см и $CD = 6$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $EK$ является средней линией треугольника $ABC$, точка $K$ — это середина диагонали $AC$. Так как $EF$ — средняя линия трапеции, точка $F$ является серединой боковой стороны $CD$. Таким образом, отрезок $KF$ соединяет середины сторон $AC$ и $CD$ треугольника $ACD$, а значит, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания $AD$.

Используя данные из условия ($KF = 5$ см), найдем длину большего основания $AD$:
$AD = 2 \cdot KF = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Периметр трапеции $ABCD$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 10 = 28$ см.

Ответ: 28 см.