Страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие следствия из аксиом стереометрии вы знаете?

Следствия из аксиом стереометрии — это теоремы, которые доказываются непосредственно на основе трех основных аксиом стереометрии. Эти следствия устанавливают основные способы задания плоскости в пространстве.

Следствие 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$).

1. На прямой $a$ выберем две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Теперь у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$. Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$ (проходящей через точки $A$ и $B$), эти три точки не лежат на одной прямой.
3. Согласно аксиоме 1 стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$.
4. Так как две точки $A$ и $B$ прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то согласно аксиоме 2, вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.
5. Точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$ по построению.

Таким образом, мы доказали, что через прямую $a$ и точку $M$ проходит плоскость $\alpha$. Единственность этой плоскости следует из единственности плоскости, проходящей через три точки $A$, $B$ и $M$ (аксиома 1).

Ответ: Через любую прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести единственную плоскость.

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$ ($a \cap b = \{M\}$).

1. На прямой $a$ выберем точку $A$, отличную от точки $M$ ($A \in a, A \neq M$).
2. На прямой $b$ выберем точку $B$, отличную от точки $M$ ($B \in b, B \neq M$).
3. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ совпадали бы, что противоречит условию, что это две разные пересекающиеся прямые.
4. Согласно аксиоме 1, через три точки $A$, $B$ и $M$, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Назовем ее $\alpha$.
5. Так как точки $A$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме 2 вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
6. Аналогично, так как точки $B$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме 2 вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, плоскость $\alpha$ проходит через обе пересекающиеся прямые $a$ и $b$, и эта плоскость единственна.

Ответ: Через любые две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Следствие 3: Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$). По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Нам нужно доказать, что такая плоскость единственна, опираясь на аксиомы.

1. На прямой $b$ выберем произвольную точку $M$.
2. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они не пересекаются, следовательно, точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).
3. Теперь у нас есть прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней. Согласно следствию 1 (доказанному выше), через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Назовем ее $\alpha$.
4. Итак, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и точку $M$. Докажем, что она содержит и всю прямую $b$.
5. Предположим, что плоскость $\beta$, в которой по определению лежат параллельные прямые $a$ и $b$, не совпадает с плоскостью $\alpha$. Тогда обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через прямую $a$ и точку $M$ (так как $M \in b$, а $b \subset \beta$). Но это противоречит следствию 1, согласно которому такая плоскость может быть только одна.
6. Следовательно, наше предположение неверно, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Это доказывает, что плоскость, проходящая через две параллельные прямые, единственна.

Ответ: Через любые две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

2. Укажите способы однозначного задания плоскости.

В стереометрии существует несколько способов однозначно задать плоскость. Эти способы основаны на аксиомах и теоремах о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

1. По трем точкам, не лежащим на одной прямой

Это основной, аксиоматический способ задания плоскости. Через любые три точки пространства, которые не лежат на одной прямой (неколлинеарные точки), проходит единственная плоскость.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не принадлежащие одной прямой. Тогда существует только одна плоскость $\alpha$, такая что $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$. Если бы существовала другая плоскость $\beta$, проходящая через эти же три точки, то по аксиоме она бы совпадала с плоскостью $\alpha$.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой.

2. По прямой и точке, не лежащей на ней

Этот способ является следствием предыдущего. Через прямую и точку, которая не лежит на этой прямой, проходит единственная плоскость.
Действительно, на прямой можно выбрать две различные точки (например, $A$ и $B$). Вместе с третьей точкой $C$, не лежащей на этой прямой, мы получаем три неколлинеарные точки $A, B, C$. Как было показано в первом способе, через эти три точки проходит единственная плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.

3. По двум пересекающимся прямым

Через две прямые, которые пересекаются в одной точке, проходит единственная плоскость.
Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. На прямой $a$ выберем точку $A$, отличную от $M$, а на прямой $b$ — точку $B$, также отличную от $M$. Точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой, так как прямые $a$ и $b$ различны. Следовательно, мы снова имеем три неколлинеарные точки, которые, согласно первому способу, однозначно задают плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать двумя пересекающимися прямыми.

4. По двум параллельным прямым

Через две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость.
Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$, $a \neq b$). На прямой $a$ выберем две различные точки $A$ и $B$. На прямой $b$ выберем точку $C$. Так как прямые параллельны, точка $C$ не лежит на прямой $a$. Таким образом, мы получаем три неколлинеарные точки $A, B, C$, которые однозначно определяют плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать двумя параллельными прямыми.

5. По точке и вектору нормали (в аналитической геометрии)

В координатном пространстве плоскость можно однозначно задать точкой, через которую она проходит, и ненулевым вектором, перпендикулярным (нормальным) к этой плоскости.
Пусть $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка, принадлежащая плоскости, а $\vec{n} = \{A, B, C\}$ — вектор нормали. Тогда для любой точки $M(x, y, z)$ плоскости вектор $\vec{M_0M} = \{x-x_0, y-y_0, z-z_0\}$ будет перпендикулярен вектору $\vec{n}$. Условие их перпендикулярности (равенство нулю скалярного произведения) дает общее уравнение плоскости:
$\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0 \implies A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Ответ: Плоскость можно однозначно задать точкой, принадлежащей плоскости, и вектором нормали к этой плоскости.

2.1. Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и точку?

Решение этого вопроса зависит от взаимного расположения данных прямой и точки. Существует два возможных случая.

Случай 1: Точка принадлежит данной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, причем точка $M$ лежит на прямой $a$, то есть $M \in a$. Одна из аксиом стереометрии гласит, что через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Это можно представить как вращение плоскости вокруг прямой, которая служит осью. Каждое положение вращающейся плоскости будет новым, но все они будут проходить через заданную прямую. Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, любая плоскость, содержащая прямую $a$, будет автоматически содержать и точку $M$. Следовательно, если точка лежит на прямой, через них можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: бесконечно много.

Случай 2: Точка не принадлежит данной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на этой прямой, то есть $M \notin a$. Этот случай описывается следствием из аксиом стереометрии: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Чтобы это доказать, выберем на прямой $a$ две любые различные точки, назовем их $A$ и $B$. Теперь у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$. Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$, на которой лежат точки $A$ и $B$, эти три точки не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой). Согласно другой аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Эта единственная плоскость будет содержать точки $A$, $B$ и $M$. Поскольку она содержит точки $A$ и $B$, она содержит и всю прямую $a$. Таким образом, она проходит через прямую $a$ и точку $M$. Так как такая плоскость единственна, то и ответ однозначен.

Ответ: одна.

Итог:

Таким образом, на вопрос "Сколько плоскостей можно провести через данные прямую и точку?" нет единого ответа без уточнения их взаимного расположения. Если в подобных задачах не дается уточнения, как правило, имеется в виду случай, когда объекты (в данном случае прямая и точка) не совпадают, то есть рассматривается второй случай, который приводит к однозначному решению.

2.2. Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.

Пусть точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$. В пространстве всегда существует точка $D$, которая не лежит на прямой $l$.
Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, причём только одну. Проведём плоскость $\alpha$ через прямую $l$ и точку $D$.
Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат прямой $l$, а прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точки $A$, $B$ и $C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.
Таким образом, доказано, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.
Ответ: Доказано.

Сколько можно провести таких плоскостей?

Как следует из доказательства выше, любая плоскость, содержащая прямую $l$, на которой лежат три заданные точки, будет решением задачи.
Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Можно представить прямую как ось вращения: любая плоскость, проходящая через эту ось, будет содержать все её точки. Так как вращать плоскость вокруг прямой можно на любой угол, количество таких плоскостей бесконечно.
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечно много плоскостей.
Ответ: Бесконечно много.