Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 2, страница 14.

Условие.

2. Укажите способы однозначного задания плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

В стереометрии существует несколько способов однозначно задать плоскость. Эти способы основаны на аксиомах и теоремах о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

1. По трем точкам, не лежащим на одной прямой

Это основной, аксиоматический способ задания плоскости. Через любые три точки пространства, которые не лежат на одной прямой (неколлинеарные точки), проходит единственная плоскость.
Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не принадлежащие одной прямой. Тогда существует только одна плоскость $\alpha$, такая что $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $C \in \alpha$. Если бы существовала другая плоскость $\beta$, проходящая через эти же три точки, то по аксиоме она бы совпадала с плоскостью $\alpha$.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой.

2. По прямой и точке, не лежащей на ней

Этот способ является следствием предыдущего. Через прямую и точку, которая не лежит на этой прямой, проходит единственная плоскость.
Действительно, на прямой можно выбрать две различные точки (например, $A$ и $B$). Вместе с третьей точкой $C$, не лежащей на этой прямой, мы получаем три неколлинеарные точки $A, B, C$. Как было показано в первом способе, через эти три точки проходит единственная плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать прямой и точкой, не лежащей на этой прямой.

3. По двум пересекающимся прямым

Через две прямые, которые пересекаются в одной точке, проходит единственная плоскость.
Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. На прямой $a$ выберем точку $A$, отличную от $M$, а на прямой $b$ — точку $B$, также отличную от $M$. Точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой, так как прямые $a$ и $b$ различны. Следовательно, мы снова имеем три неколлинеарные точки, которые, согласно первому способу, однозначно задают плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать двумя пересекающимися прямыми.

4. По двум параллельным прямым

Через две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость.
Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$, $a \neq b$). На прямой $a$ выберем две различные точки $A$ и $B$. На прямой $b$ выберем точку $C$. Так как прямые параллельны, точка $C$ не лежит на прямой $a$. Таким образом, мы получаем три неколлинеарные точки $A, B, C$, которые однозначно определяют плоскость.
Ответ: Плоскость можно однозначно задать двумя параллельными прямыми.

5. По точке и вектору нормали (в аналитической геометрии)

В координатном пространстве плоскость можно однозначно задать точкой, через которую она проходит, и ненулевым вектором, перпендикулярным (нормальным) к этой плоскости.
Пусть $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка, принадлежащая плоскости, а $\vec{n} = \{A, B, C\}$ — вектор нормали. Тогда для любой точки $M(x, y, z)$ плоскости вектор $\vec{M_0M} = \{x-x_0, y-y_0, z-z_0\}$ будет перпендикулярен вектору $\vec{n}$. Условие их перпендикулярности (равенство нулю скалярного произведения) дает общее уравнение плоскости:
$\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0 \implies A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Ответ: Плоскость можно однозначно задать точкой, принадлежащей плоскости, и вектором нормали к этой плоскости.