Номер 6, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 6, страница 15.

Условие.

2.6. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Все ли прямые, пересекающие прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, не все прямые, пересекающие данные прямые $a$ и $b$, лежат в одной плоскости.

Рассуждение:

1. Согласно аксиоме стереометрии, так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, они определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, и прямая $a$, и прямая $b$ полностью лежат в плоскости $\alpha$. Пусть точка $M$ – точка их пересечения ($M = a \cap b$).

2. Рассмотрим произвольную прямую $c$, которая пересекает и прямую $a$, и прямую $b$. Пусть $A$ — точка пересечения $c$ и $a$, а $B$ — точка пересечения $c$ и $b$.

3. Случай 1: Точки пересечения различны ($A \neq B$).
Поскольку точка $A$ лежит на прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$. Аналогично, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$. Прямая $c$ проходит через две различные точки ($A$ и $B$), лежащие в плоскости $\alpha$. По аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, в этом случае прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Случай 2: Точки пересечения совпадают ($A = B$).
Это возможно только если прямая $c$ проходит через точку пересечения прямых $a$ и $b$, то есть $A = B = M$. В этом случае прямая $c$ имеет с плоскостью $\alpha$ только одну общую точку $M$. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости $\alpha$. Например, можно провести прямую $c$ через точку $M$ перпендикулярно плоскости $\alpha$. Такая прямая будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$ (в их общей точке $M$), но не будет лежать в плоскости $\alpha$.

Поскольку мы нашли контрпример (Случай 2), утверждение о том, что все такие прямые лежат в одной плоскости, является неверным.

Ответ: Нет, не все. Прямая, проходящая через точку пересечения прямых $a$ и $b$, но не лежащая в их плоскости, также пересекает обе эти прямые.