Номер 8, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 8, страница 15.

Условие.

2.8. Прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Точка $B$ принадлежит прямой $m$, точка $C$ – прямой $n$, точка $D$ – прямой $BC$. Докажите, что прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся аксиомами стереометрии.

1. Согласно аксиоме, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. По условию, прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $A$. Следовательно, существует единственная плоскость, назовем ее $\alpha$, которая содержит обе эти прямые. Математически это записывается как $m \subset \alpha$ и $n \subset \alpha$.

2. По условию, точка $B$ принадлежит прямой $m$ ($B \in m$). Так как вся прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$, то и любая ее точка, включая точку $B$, также лежит в этой плоскости. Таким образом, $B \in \alpha$.

3. Аналогично, точка $C$ принадлежит прямой $n$ ($C \in n$). Так как вся прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$ также лежит в этой плоскости. Таким образом, $C \in \alpha$.

4. Теперь мы знаем, что две точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$. Согласно другой аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \subset \alpha$).

5. По условию задачи, точка $D$ принадлежит прямой $BC$ ($D \in BC$). Поскольку вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

6. Мы установили, что прямые $m$ и $n$ лежат в плоскости $\alpha$, и точка $D$ также лежит в этой же плоскости. Следовательно, прямые $m$ и $n$ и точка $D$ лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Пересекающиеся прямые $m$ и $n$ задают единственную плоскость $\alpha$. Точка $B$ на прямой $m$ и точка $C$ на прямой $n$ лежат в этой плоскости. Значит, и вся прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как точка $D$ принадлежит прямой $BC$, она также лежит в плоскости $\alpha$.