Номер 9, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 9, страница 15.

Условие.

2.9. Прямые $AB$ и $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $B$ и $C$, точки $D$ и $E$ принадлежат этой плоскости (рис. 2.3). Постройте точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 2.3

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $ABC$.

1. Определим, где находится искомая точка. Прямая $DE$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, так как обе точки $D$ и $E$ по условию принадлежат этой плоскости. Это означает, что любая точка прямой $DE$, включая искомую точку пересечения, также лежит в плоскости $\alpha$. По определению, искомая точка должна также лежать в плоскости $ABC$. Следовательно, она должна принадлежать линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$.

2. Найдем линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $ABC$. Для этого найдем две их общие точки.

• По условию, прямая $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Таким образом, точка $B$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $B$ также принадлежит прямой $AB$, а значит и плоскости $ABC$. Следовательно, $B$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $ABC$.
• Аналогично, прямая $AC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Таким образом, точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $C$ также принадлежит прямой $AC$, а значит и плоскости $ABC$. Следовательно, $C$ — вторая общая точка этих плоскостей.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $ABC$ имеют две общие точки $B$ и $C$, они пересекаются по прямой $BC$.

3. Выполним построение. Мы установили, что искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$ должна лежать на прямой $BC$. Так как эта точка также должна лежать на прямой $DE$, она является точкой пересечения прямых $DE$ и $BC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому (если они не параллельны) они пересекутся в одной точке.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Провести прямую через точки $B$ и $C$.
2. Провести прямую через точки $D$ и $E$.
3. Точка пересечения прямых $BC$ и $DE$ является искомой точкой пересечения прямой $DE$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямых $DE$ и $BC$.