Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 2, страница 14.

Условие.

2.2. Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Докажите, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.

Пусть точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $l$. В пространстве всегда существует точка $D$, которая не лежит на прямой $l$.
Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, причём только одну. Проведём плоскость $\alpha$ через прямую $l$ и точку $D$.
Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат прямой $l$, а прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точки $A$, $B$ и $C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.
Таким образом, доказано, что через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести плоскость.
Ответ: Доказано.

Сколько можно провести таких плоскостей?

Как следует из доказательства выше, любая плоскость, содержащая прямую $l$, на которой лежат три заданные точки, будет решением задачи.
Через любую прямую в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Можно представить прямую как ось вращения: любая плоскость, проходящая через эту ось, будет содержать все её точки. Так как вращать плоскость вокруг прямой можно на любой угол, количество таких плоскостей бесконечно.
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечно много плоскостей.
Ответ: Бесконечно много.