Номер 26, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 26, страница 12.

Условие.

1.26. На высоте $BD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) отметили точку $M$. Найдите отношение площади треугольника $AMC$ к площади треугольника $ABC$, если $BD = 12$ см, $BM = 8$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC$ и основанием $AC$. $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является и медианой, поэтому $BD$ перпендикулярна $AC$.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{ABC}$, где $h_{ABC}$ — высота, проведенная к стороне $AC$. В нашем случае высота — это $BD$. Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. У него общее основание $AC$ с треугольником $ABC$. Высота треугольника $AMC$, проведенная из вершины $M$ к основанию $AC$, — это длина перпендикуляра из точки $M$ на прямую $AC$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BD$, который перпендикулярен $AC$, то искомой высотой является отрезок $MD$. Таким образом, $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MD$.

Найдем длину высоты $MD$. Точка $M$ лежит на отрезке $BD$, поэтому длина отрезка $BD$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $MD$: $BD = BM + MD$. По условию $BD = 12$ см и $BM = 8$ см. Выразим $MD$: $MD = BD - BM = 12 - 8 = 4$ см.

Теперь найдем отношение площади треугольника $AMC$ к площади треугольника $ABC$: $\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot MD}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD}$.

Так как у треугольников общее основание $AC$, мы можем сократить $\frac{1}{2}$ и $AC$ в числителе и знаменателе. Отношение площадей будет равно отношению их высот: $\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MD}{BD}$.

Подставим известные значения длин высот: $\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.