Номер 19, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 19, страница 12.

Условие.

1.19. Точки $A, B, C$ и $D$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что три из данных точек, например $A$, $B$ и $C$, лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l$.

Рассмотрим положение четвертой точки $D$ относительно прямой $l$. Точка $D$ не может лежать на прямой $l$, так как в этом случае все четыре точки ($A$, $B$, $C$ и $D$) лежали бы на одной прямой. Любые точки, лежащие на одной прямой, одновременно лежат и в одной плоскости (и даже в бесконечном множестве плоскостей), что напрямую противоречит условию задачи, согласно которому точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.

Итак, у нас есть прямая $l$ (на которой лежат точки $A$, $B$, $C$) и точка $D$, не лежащая на этой прямой. Согласно одной из аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем такую плоскость $\alpha$ через прямую $l$ и точку $D$.

По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $l$ и точку $D$. Так как точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат прямой $l$, они также принадлежат и плоскости $\alpha$. Точка $D$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, все четыре точки $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Мы пришли к противоречию с условием задачи, в котором утверждается, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ не лежат в одной плоскости.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Таким образом, никакие три из данных четырех точек не могут лежать на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.