Номер 14, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 14, страница 11.

Условие.

1.14. Прямая $m$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1.18). Точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точка $C$ — плоскости $\beta$. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и с плоскостью $\beta$.

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в построении двух прямых: линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ и линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$.

Построение линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, которая принадлежит обеим этим плоскостям.
По условию, точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$. Таким образом, $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$.
Плоскость $ABC$ проходит через точки $A$, $B$ и $C$. Следовательно, точки $A$ и $B$ также принадлежат и плоскости $ABC$. То есть $A \in (ABC)$ и $B \in (ABC)$.
Поскольку обе точки, $A$ и $B$, лежат как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $ABC$, то прямая, проходящая через эти точки, является линией их пересечения.
Таким образом, прямая $AB$ — это линия пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$.

Ответ: Линией пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha$ является прямая $AB$.

Построение линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$

Для нахождения линии пересечения плоскостей $ABC$ и $\beta$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей.
По условию, точка $C$ принадлежит плоскости $\beta$ ($C \in \beta$). По определению, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABC$ ($C \in (ABC)$). Следовательно, точка $C$ является одной из точек искомой прямой.
Для нахождения второй точки воспользуемся тем, что три плоскости ($ABC$, $\alpha$ и $\beta$) пересекаются по трем прямым, которые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Мы уже знаем две из этих прямых: $m = \alpha \cap \beta$ и $AB = (ABC) \cap \alpha$.
Прямые $AB$ и $m$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Найдем их точку пересечения, продолжив прямую $AB$ до пересечения с прямой $m$. Обозначим эту точку $P$.
$P = AB \cap m$.
Рассмотрим принадлежность точки $P$ плоскостям:

• Так как точка $P$ лежит на прямой $AB$ ($P \in AB$), а прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ ($AB \subset (ABC)$), то точка $P$ принадлежит плоскости $ABC$ ($P \in (ABC)$).
• Так как точка $P$ лежит на прямой $m$ ($P \in m$), а прямая $m$ лежит в плоскости $\beta$ ($m \subset \beta$), то точка $P$ принадлежит плоскости $\beta$ ($P \in \beta$).

Таким образом, точка $P$ является второй общей точкой плоскостей $ABC$ и $\beta$.
Прямая, проходящая через точки $C$ и $P$, является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\beta$.

Ответ: Линией пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\beta$ является прямая $CP$, где $P$ – точка пересечения прямой $AB$ и прямой $m$.