Номер 9, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 9, страница 11.

Условие.

1.9. В комнате на люстре сидели три мухи. Одновременно они начали летать: первая — кружить вокруг люстры на одинаковой высоте, вторая — спускаться от люстры вертикально вниз и подниматься обратно, третья — перемещаться от люстры до двери и обратно. Скорость всех мух одинакова. Через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать движение каждой мухи и использовать базовые принципы геометрии.

Введем трехмерную систему координат. Пусть точка, из которой мухи начинают движение (на люстре), будет началом координат $O(0, 0, 0)$.

1. Первая муха кружит вокруг люстры на одинаковой высоте. Ее траектория — это окружность, лежащая в горизонтальной плоскости. В нашей системе координат это будет плоскость $z=0$. Положение первой мухи в любой момент времени $t > 0$ можно описать как $M_1(x_1(t), y_1(t), 0)$.
2. Вторая муха спускается вертикально вниз и поднимается обратно. Ее траектория — это отрезок на вертикальной оси $Oz$. Положение второй мухи в любой момент времени $t > 0$ можно описать как $M_2(0, 0, z_2(t))$.
3. Третья муха перемещается от люстры до двери и обратно. Будем считать, что это движение происходит по прямой в горизонтальной плоскости. Мы можем направить ось $Ox$ вдоль этой прямой. Тогда положение третьей мухи в любой момент времени $t > 0$ будет $M_3(x_3(t), 0, 0)$.

Теперь рассмотрим условие задачи: "все три мухи окажутся в одной плоскости".

Из геометрии известно, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой (неколлинеарные), можно провести единственную плоскость. В начальный момент времени $t=0$ все три мухи находятся в одной точке $O(0, 0, 0)$, что является вырожденным случаем (через одну точку проходит бесконечное множество плоскостей).

Как только мухи начинают движение ($t > 0$), их положения $M_1, M_2, M_3$ становятся различными. Проверим, могут ли они лежать на одной прямой (быть коллинеарными). Для этого необходимо, чтобы вектор $\vec{M_2 M_1}$ был пропорционален вектору $\vec{M_2 M_3}$.

$\vec{M_2 M_1} = (x_1, y_1, -z_2)$

$\vec{M_2 M_3} = (x_3, 0, -z_2)$

Для коллинеарности необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны. Из пропорциональности вторых координат следует, что $y_1 = k \cdot 0 = 0$. Это означает, что первая муха должна находиться на оси $Ox$. Из пропорциональности третьих координат следует, что $-z_2 = k \cdot (-z_2)$, что верно при $k=1$ (если $z_2 \neq 0$). Но тогда из первых координат $x_1 = 1 \cdot x_3$. Это крайне специфическое условие, которое может выполняться только в отдельные моменты времени, если траектории мух (радиус окружности, расстояние до двери и глубина спуска) находятся в определенном соотношении. В общем случае мухи не лежат на одной прямой.

Поскольку в общем случае три мухи не коллинеарны, их положения в любой момент времени $t > 0$ образуют треугольник. А через вершины любого треугольника всегда проходит единственная плоскость.

Таким образом, условие "три мухи находятся в одной плоскости" выполняется в любой момент времени после начала их движения.

Вопрос "Через какое время?" подразумевает нахождение первого момента времени $t > 0$, когда условие будет выполнено. Так как оно выполняется для любого $t > 0$, оно выполняется и для сколь угодно малого промежутка времени после старта.

Ответ: Мухи окажутся в одной плоскости в любой момент времени после начала движения, то есть сразу же.