Номер 10, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 10, страница 11.

Условие.

3.10. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, две плоскости не могут иметь только одну общую точку. Это утверждение следует из аксиом стереометрии, и его можно доказать методом от противного.

Предположим, что две различные плоскости, назовем их $\alpha$ и $\beta$, имеют ровно одну общую точку $A$.

Согласно одной из основных аксиом стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Поскольку по нашему предположению плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$, они должны пересекаться по некоторой прямой $l$, и эта прямая должна проходить через точку $A$.

Любая прямая состоит из бесконечного множества точек. Все точки прямой $l$, являющейся линией пересечения, принадлежат одновременно и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют не одну общую точку, а бесконечно много общих точек, образующих прямую.

Это заключение прямо противоречит нашему первоначальному предположению о том, что у плоскостей была только одна общая точка. Следовательно, исходное предположение было неверным.

Таким образом, для двух различных плоскостей в пространстве возможны только два варианта взаимного расположения:
1. Они не имеют общих точек (т.е. они параллельны).
2. Они имеют бесконечно много общих точек, которые образуют прямую (т.е. они пересекаются).
(Третий случай, когда плоскости совпадают, означает, что все их точки общие, что также является бесконечным множеством).

Случай, когда у двух плоскостей есть только одна общая точка, невозможен.

Ответ: Нет.