Номер 5, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 5, страница 11.

Условие.

1.5. Прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$. Следует ли из этого, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы ответить на данный вопрос, необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости, удовлетворяющие заданному условию.

По условию, прямая $a$ проходит через точку $A$, которая принадлежит плоскости $\alpha$. Это означает, что у прямой $a$ и плоскости $\alpha$ есть как минимум одна общая точка — точка $A$.

В стереометрии есть два варианта для прямой и плоскости, имеющих общую точку:

1. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая пересекает плоскость.
2. Прямая и плоскость имеют более одной общей точки. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Это означает, что у них бесконечно много общих точек. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости.

Заданное условие ($A \in a$ и $A \in \alpha$) не исключает второй вариант. Прямая $a$ может целиком лежать в плоскости $\alpha$. В этом случае она также будет проходить через точку $A$ этой плоскости, но она не будет пересекать плоскость в привычном понимании этого термина (т.е. иметь с ней лишь одну общую точку).

Таким образом, из того, что прямая $a$ проходит через точку $A$ плоскости $\alpha$, не обязательно следует, что она пересекает эту плоскость. Она может также лежать в этой плоскости.

Ответ: Нет, не следует. Прямая $a$ может как пересекать плоскость $\alpha$ в точке $A$, так и полностью лежать в плоскости $\alpha$.