Номер 5, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 5, страница 10.

Условие.

5. Сформулируйте аксиомы A1, A2, A3, A4.

Решение 1.

Решение 3.

Данные аксиомы определяют свойства операции сложения в линейном (векторном) пространстве. Они являются частью определения линейного пространства и утверждают, что множество векторов по операции сложения образует коммутативную (абелеву) группу.

A1. Аксиома коммутативности (переместительности) сложения. Она гласит, что результат сложения двух векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. То есть, для любых двух векторов $x$ и $y$ из линейного пространства $V$ справедливо следующее равенство: $x + y = y + x$.
Ответ: Для любых векторов $x, y \in V$ выполняется равенство $x + y = y + x$.

A2. Аксиома ассоциативности (сочетательности) сложения. Эта аксиома утверждает, что при сложении трех и более векторов результат не зависит от способа группировки слагаемых. Для любых векторов $x, y, z \in V$ справедливо равенство: $(x + y) + z = x + (y + z)$.
Ответ: Для любых векторов $x, y, z \in V$ выполняется равенство $(x + y) + z = x + (y + z)$.

A3. Аксиома о существовании нулевого элемента. Эта аксиома постулирует, что в линейном пространстве $V$ существует специальный вектор, называемый нулевым вектором (обозначается как $0$ или $\vec{0}$), который является нейтральным элементом для операции сложения. Это значит, что прибавление нулевого вектора к любому другому вектору не изменяет последний: $x + 0 = x$.
Ответ: Существует вектор $0 \in V$ такой, что для любого вектора $x \in V$ выполняется равенство $x + 0 = x$.

A4. Аксиома о существовании противоположного элемента. Согласно этой аксиоме, для каждого вектора в пространстве существует обратный ему по сложению элемент, называемый противоположным вектором. Сумма вектора и его противоположного вектора (обозначается как $-x$) равна нулевому вектору: $x + (-x) = 0$.
Ответ: Для любого вектора $x \in V$ существует вектор $-x \in V$ такой, что выполняется равенство $x + (-x) = 0$.