Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как в математике называют первоначальные понятия, которым не дают определения?

В основе любой математической теории лежат фундаментальные концепции, которые служат отправной точкой для всех последующих построений. Дать определение абсолютно всем понятиям невозможно, так как каждое определение должно опираться на другие, уже известные понятия. Если бы мы попытались это сделать, мы бы столкнулись либо с бесконечной цепочкой определений, либо с логическим кругом, когда одно понятие определяется через другое, которое, в свою очередь, определяется через первое.

Чтобы избежать этой проблемы, в математике вводятся так называемые основные (первоначальные) понятия, которые принимаются без определений. Их также называют неопределяемыми понятиями. Смысл и свойства этих понятий раскрываются не через словесное определение, а через систему аксиом — утверждений, которые принимаются как истинные без доказательств и описывают отношения между этими основными понятиями.

Например, в евклидовой геометрии основными неопределяемыми понятиями являются точка, прямая и плоскость. Мы не даем определения тому, что такое точка. Вместо этого мы описываем ее свойства через аксиомы, например: «Через любые две различные точки проходит единственная прямая». Это утверждение устанавливает связь между понятиями «точка» и «прямая», но не определяет их по отдельности. Аналогично, в теории множеств основным неопределяемым понятием является множество.

На базе этих первоначальных понятий и аксиом с помощью логических правил строятся определения всех остальных понятий и доказываются теоремы.

Ответ: Основные (или первоначальные, неопределяемые) понятия.

2. Какие фигуры входят в список основных понятий стереометрии?

Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает фигуры в трехмерном пространстве. Подобно планиметрии, которая изучает фигуры на плоскости, стереометрия строится на ряде основных, или неопределяемых, понятий. Эти понятия принимаются без определений, а их свойства задаются через систему аксиом. Все остальные фигуры и их свойства в стереометрии выводятся из этих основных понятий и аксиом.

В список основных фигур (понятий) стереометрии входят три объекта:

Точка
Это фундаментальный объект в геометрии, который не имеет никаких измеримых характеристик: ни длины, ни ширины, ни высоты. Точка лишь обозначает определенное положение в пространстве.

Прямая
Это геометрическая фигура, представляющая собой множество точек, которые расположены на одной линии. Прямая бесконечна в обе стороны, не имеет толщины и не искривляется. Через любые две различные точки в пространстве можно провести только одну прямую.

Плоскость
Это двумерная поверхность, которая бесконечно простирается во всех направлениях. Плоскость не имеет толщины. Представление о части плоскости может дать поверхность стола или гладь воды. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.

Таким образом, точка, прямая и плоскость являются "строительными блоками", из которых конструируются все остальные, более сложные пространственные фигуры, такие как кубы, пирамиды, сферы и цилиндры.

Ответ: Точка, прямая, плоскость.

3. В каком случае говорят, что прямая пересекает плоскость?

3. Говорят, что прямая пересекает плоскость, если они имеют только одну общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямой и плоскости.

Для полного понимания рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. Прямая лежит в плоскости: у прямой и плоскости бесконечно много общих точек (все точки прямой принадлежат плоскости).
2. Прямая параллельна плоскости: у прямой и плоскости нет общих точек.
3. Прямая пересекает плоскость: у прямой и плоскости есть ровно одна общая точка.

Если обозначить прямую как $a$, а плоскость как $\alpha$, то случай пересечения в точке $M$ математически записывается так: $a \cap \alpha = \{M\}$.

Ответ: Говорят, что прямая пересекает плоскость, если они имеют только одну общую точку.

4. В каком случае говорят, что плоскости пересекаются?

В стереометрии говорят, что две плоскости пересекаются, если они имеют хотя бы одну общую точку. Это является основным определением.

Из аксиом стереометрии следует важное свойство: если две различные плоскости (например, $\alpha$ и $\beta$) имеют общую точку, то они пересекаются по прямой линии (например, $l$), которая проходит через эту точку. Эта прямая и является множеством всех общих точек данных плоскостей. Математически это записывается как $\alpha \cap \beta = l$.

Таким образом, в трёхмерном пространстве для двух различных плоскостей есть только две возможности их взаимного расположения:
1. Плоскости не имеют ни одной общей точки. Такие плоскости называются параллельными.
2. Плоскости имеют общие точки, которые образуют прямую. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются.

Случай, когда плоскости совпадают, означает, что все их точки общие.

Ответ: Говорят, что плоскости пересекаются, если они имеют общие точки. Если плоскости различны, то множество их общих точек представляет собой прямую линию.

5. Сформулируйте аксиомы A1, A2, A3, A4.

Данные аксиомы определяют свойства операции сложения в линейном (векторном) пространстве. Они являются частью определения линейного пространства и утверждают, что множество векторов по операции сложения образует коммутативную (абелеву) группу.

A1. Аксиома коммутативности (переместительности) сложения. Она гласит, что результат сложения двух векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. То есть, для любых двух векторов $x$ и $y$ из линейного пространства $V$ справедливо следующее равенство: $x + y = y + x$.
Ответ: Для любых векторов $x, y \in V$ выполняется равенство $x + y = y + x$.

A2. Аксиома ассоциативности (сочетательности) сложения. Эта аксиома утверждает, что при сложении трех и более векторов результат не зависит от способа группировки слагаемых. Для любых векторов $x, y, z \in V$ справедливо равенство: $(x + y) + z = x + (y + z)$.
Ответ: Для любых векторов $x, y, z \in V$ выполняется равенство $(x + y) + z = x + (y + z)$.

A3. Аксиома о существовании нулевого элемента. Эта аксиома постулирует, что в линейном пространстве $V$ существует специальный вектор, называемый нулевым вектором (обозначается как $0$ или $\vec{0}$), который является нейтральным элементом для операции сложения. Это значит, что прибавление нулевого вектора к любому другому вектору не изменяет последний: $x + 0 = x$.
Ответ: Существует вектор $0 \in V$ такой, что для любого вектора $x \in V$ выполняется равенство $x + 0 = x$.

A4. Аксиома о существовании противоположного элемента. Согласно этой аксиоме, для каждого вектора в пространстве существует обратный ему по сложению элемент, называемый противоположным вектором. Сумма вектора и его противоположного вектора (обозначается как $-x$) равна нулевому вектору: $x + (-x) = 0$.
Ответ: Для любого вектора $x \in V$ существует вектор $-x \in V$ такой, что выполняется равенство $x + (-x) = 0$.

1.1. Изобразите плоскость $\alpha$, точку $M$, ей принадлежащую, и точку $K$, ей не принадлежащую. Запишите это с помощью соответствующих символов.

В стереометрии плоскость принято изображать в виде параллелограмма или любой замкнутой области на плоскости чертежа. Обозначим плоскость греческой буквой α. Точку M, которая принадлежит плоскости, изобразим внутри параллелограмма. Точку K, которая не принадлежит плоскости, изобразим вне этого параллелограмма.

Запишем эти пространственные отношения с помощью соответствующих символов. Утверждение «точка M принадлежит плоскости α» записывается с помощью символа принадлежности $ \in $ (читается «принадлежит»).

$M \in \alpha$

Утверждение «точка K не принадлежит плоскости α» записывается с помощью символа непринадлежности $ \notin $ (читается «не принадлежит»).

$K \notin \alpha$

Ответ: Изображение представлено выше, символьная запись: $M \in \alpha$, $K \notin \alpha$.