Страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.15. Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые BP и CK пересекаются в точке E, прямая BP пересекает прямую AC в точке B, прямая FM – в точке P, прямая CK пересекает прямую FM в точке K, прямые AC, FE и FM пересекают плоскость $ \alpha $ в точках A, D и M соответственно. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.6

Нахождение ошибки на рисунке

Для нахождения ошибки в изображении проанализируем геометрическую конфигурацию, описанную в условии задачи.

1. По условию, прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, все точки, принадлежащие этим прямым, а именно $B, P, C, K, E$, лежат в плоскости $\beta$.

2. Прямая $BP$ пересекает прямую $FM$ в точке $P$. Так как точки $B$ и $P$ лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая $BP$ принадлежит этой плоскости. Аналогично, прямая $CK$ (содержащая точки $C$ и $K$ из $\beta$) также полностью лежит в плоскости $\beta$.

3. Прямая $FM$ проходит через точки $P$ и $K$. Поскольку точки $P$ (на прямой $BP$) и $K$ (на прямой $CK$) принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $FM$, проходящая через эти две точки, лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точки $F$ и $M$ также принадлежат плоскости $\beta$.

4. Прямая $AC$ проходит через точки $B$ и $C$. Так как $B \in \beta$ и $C \in \beta$, вся прямая $AC$ также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$.

5. Прямая $FE$ проходит через точки $F$ и $E$, которые, как мы установили, обе принадлежат плоскости $\beta$. Значит, прямая $FE$ также лежит в плоскости $\beta$.

Из проведенного анализа следует, что все основные прямые фигуры ($AC, FE, FM$) лежат в одной плоскости $\beta$. По условию, эти прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A, D$ и $M$ соответственно. Эти точки являются общими для обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Согласно теореме о пересечении двух плоскостей, если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, содержащей все их общие точки. Следовательно, все точки пересечения $A, D, M$ должны лежать на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

На рисунке 2.6 точки $A, D, M$ не лежат на одной прямой, а образуют треугольник. Это противоречит выводам, сделанным из условия задачи.

Ответ: Ошибка на рисунке заключается в том, что точки $A, D$ и $M$ не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой), хотя как точки, принадлежащие одновременно двум плоскостям $\alpha$ и $\beta$, они должны лежать на линии пересечения этих плоскостей.

Правильный рисунок

При построении правильного рисунка необходимо изобразить точки $A, D, M$ лежащими на одной прямой в плоскости $\alpha$. Все остальные элементы конструкции будут находиться в плоскости $\beta$, которая пересекает плоскость $\alpha$ по этой прямой.

Ответ:

2.16. Точка $C$ лежит на прямой $AB$, а точка $D$ не лежит на этой прямой. Точка $E$ лежит на прямой $AD$. Докажите, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают.

Для того чтобы доказать, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают, необходимо показать, что три точки, определяющие плоскость $CDE$ (точки $C$, $D$ и $E$), лежат в плоскости $ABD$.

Плоскость $ABD$ однозначно задана, так как по условию точка $D$ не лежит на прямой $AB$, а это значит, что точки $A$, $B$ и $D$ не лежат на одной прямой.

Рассмотрим принадлежность точек $C, D$ и $E$ плоскости $ABD$:

1. По условию, точка $C$ лежит на прямой $AB$. Так как точки $A$ и $B$ по определению принадлежат плоскости $ABD$, то согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости) вся прямая $AB$ лежит в плоскости $ABD$. Следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABD$.

2. Точка $D$ по определению принадлежит плоскости $ABD$, так как является одной из точек, задающих эту плоскость.

3. По условию, точка $E$ лежит на прямой $AD$. Так как точки $A$ и $D$ принадлежат плоскости $ABD$, то по той же аксиоме вся прямая $AD$ лежит в плоскости $ABD$. Следовательно, точка $E$ также принадлежит плоскости $ABD$.

Таким образом, все три точки — $C$, $D$ и $E$ — лежат в одной плоскости $ABD$.

Точки $C, D, E$ задают плоскость $CDE$, а значит, они не лежат на одной прямой. Убедимся в этом. Точки $D$ и $E$ лежат на прямой $AD$. Если бы точка $C$ тоже лежала на этой прямой, то, поскольку $C$ также лежит на прямой $AB$, она должна была бы быть точкой пересечения прямых $AB$ и $AD$. Это возможно, только если $C$ совпадает с $A$ или если прямые $AB$ и $AD$ совпадают. Совпадение прямых $AB$ и $AD$ невозможно, так как это означало бы, что точка $D$ лежит на прямой $AB$, что противоречит условию. Случай, когда $C$ совпадает с $A$, привел бы к тому, что точки $C, D, E$ лежат на одной прямой $AD$, а три коллинеарные точки не задают плоскость. Условие существования плоскости $CDE$ исключает этот случай.

Итак, мы имеем три неколлинеарные точки $C, D, E$, которые задают единственную плоскость $CDE$. Поскольку все эти три точки также лежат в плоскости $ABD$, то по аксиоме о единственности плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, следует, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.17. Прямые $a$, $b$ и $c$ попарно пересекаются, причём точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые $a$, $b$ и $c$ в одной плоскости?

Рассмотрим две пересекающиеся прямые, например, $a$ и $b$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $c$. По условию, она пересекает прямую $a$ и прямую $b$. Пусть точка пересечения прямых $a$ и $c$ будет точка $A$, а точка пересечения прямых $b$ и $c$ будет точка $B$.

Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая точку $A$, лежат в этой плоскости. Значит, $A \in \alpha$.

Аналогично, поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая точку $B$, лежат в этой плоскости. Значит, $B \in \alpha$.

По условию, точки пересечения не совпадают, следовательно, точки $A$ и $B$ различны. Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, лежат.

2.18. На рисунке 2.7 буквами $P, E$ и $Q$ обозначены точки пересечения прямых $MK$ и $BC$, $MN$ и $CA$, $KN$ и $AB$ соответственно. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $MNK$ совпадают?

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем, что означает существование точек пересечения $P$, $E$ и $Q$. Пусть плоскость, проходящая через точки $A$, $B$, $C$, обозначается как $\alpha$, а плоскость, проходящая через точки $M$, $N$, $K$, — как $\beta$.

По условию, точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $BC$. Это означает, что точка $P$ принадлежит обеим прямым. Поскольку прямая $MK$ лежит в плоскости $\beta$ ($MK \subset \beta$), а прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \subset \alpha$), точка $P$ принадлежит обеим плоскостям: $P \in \alpha$ и $P \in \beta$.

Аналогично, точка $E$ — точка пересечения прямых $MN$ и $CA$. Поскольку $MN \subset \beta$ и $CA \subset \alpha$, точка $E$ также принадлежит обеим плоскостям: $E \in \alpha$ и $E \in \beta$.

Точно так же, точка $Q$ — точка пересечения прямых $KN$ и $AB$. Поскольку $KN \subset \beta$ и $AB \subset \alpha$, точка $Q$ принадлежит обеим плоскостям: $Q \in \alpha$ и $Q \in \beta$.

Таким образом, все три точки $P$, $E$ и $Q$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть принадлежат их пересечению.

Теперь рассмотрим два возможных варианта взаимного расположения плоскостей $\alpha$ и $\beta$:

1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают ($\alpha = \beta$). В этом случае все точки ($A, B, C, M, N, K$) и все прямые лежат в одной плоскости. Данная конфигурация возможна и не противоречит условию.

2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны ($\alpha \neq \beta$). Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, содержащей все их общие точки. Следовательно, точки $P$, $E$ и $Q$ должны лежать на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Изображение на рисунке 2.7 как раз соответствует этому случаю.

Поскольку условие задачи допускает как совпадение плоскостей, так и их пересечение по прямой, нельзя однозначно утверждать, что плоскости $ABC$ и $MNK$ всегда совпадают. Наличие точек пересечения $P, E, Q$ не является достаточным условием для совпадения плоскостей.

Ответ: Нет, не верно. Плоскости $ABC$ и $MNK$ могут быть различными. В этом случае они будут пересекаться по прямой, на которой лежат точки $P$, $E$ и $Q$.

2.19. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точку $M$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если площадь треугольника $AMD$ равна $16 \text{ см}^2$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания параллелограмма выберем сторону $AD$. Пусть $h$ — высота параллелограмма, проведенная из вершины $B$ (или любой точки на прямой $BC$) к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = AD \cdot h$.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его площадь вычисляется по формуле $S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_M$, где $h_M$ — высота треугольника, проведенная из вершины $M$ к основанию $AD$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, а в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$), то расстояние от любой точки на прямой $BC$ до прямой $AD$ одинаково и равно высоте параллелограмма $h$. Следовательно, высота треугольника $h_M$ равна высоте параллелограмма $h$.

Таким образом, мы можем записать площадь треугольника $AMD$ как $S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

Сравнивая формулы для площади параллелограмма и треугольника, получаем:$S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

По условию задачи, площадь треугольника $AMD$ равна $16 \text{ см}^2$. Подставим это значение в полученное соотношение:$16 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Отсюда находим площадь параллелограмма $ABCD$:$S_{ABCD} = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см}^2$.

Ответ: $32 \text{ см}^2$.

2.20. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Найдите отрезок $BE$, если $AE = 10 \text{ см}$, $CE = 3 \text{ см}$, $DE = 6 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle BCE $, образованные пересечением отрезков $ AB $ и $ CD $ и параллельными прямыми $ AD $ и $ BC $.

1. Углы $ \angle AED $ и $ \angle BEC $ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $.

$ \angle AED = \angle BEC $

2. Углы $ \angle DAE $ и $ \angle CBE $ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $ AD $ и $ BC $ и секущей $ AB $.

$ \angle DAE = \angle CBE $

3. Углы $ \angle ADE $ и $ \angle BCE $ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $ AD $ и $ BC $ и секущей $ CD $.

$ \angle ADE = \angle BCE $

Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого, треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle BCE $ подобны по первому признаку подобия (по двум или трем углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE} = \frac{AD}{BC} $

Для нахождения отрезка $ BE $ воспользуемся первой частью пропорции, подставив известные значения:

$ AE = 10 $ см, $ CE = 3 $ см, $ DE = 6 $ см.

$ \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE} $

$ \frac{10}{BE} = \frac{6}{3} $

Упростим правую часть уравнения:

$ \frac{10}{BE} = 2 $

Выразим $ BE $:

$ BE = \frac{10}{2} $

$ BE = 5 $ см.

Ответ: 5 см.