Номер 18, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 18, страница 16.

Условие.

2.18. На рисунке 2.7 буквами $P, E$ и $Q$ обозначены точки пересечения прямых $MK$ и $BC$, $MN$ и $CA$, $KN$ и $AB$ соответственно. Верно ли, что плоскости $ABC$ и $MNK$ совпадают?

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем, что означает существование точек пересечения $P$, $E$ и $Q$. Пусть плоскость, проходящая через точки $A$, $B$, $C$, обозначается как $\alpha$, а плоскость, проходящая через точки $M$, $N$, $K$, — как $\beta$.

По условию, точка $P$ является точкой пересечения прямых $MK$ и $BC$. Это означает, что точка $P$ принадлежит обеим прямым. Поскольку прямая $MK$ лежит в плоскости $\beta$ ($MK \subset \beta$), а прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($BC \subset \alpha$), точка $P$ принадлежит обеим плоскостям: $P \in \alpha$ и $P \in \beta$.

Аналогично, точка $E$ — точка пересечения прямых $MN$ и $CA$. Поскольку $MN \subset \beta$ и $CA \subset \alpha$, точка $E$ также принадлежит обеим плоскостям: $E \in \alpha$ и $E \in \beta$.

Точно так же, точка $Q$ — точка пересечения прямых $KN$ и $AB$. Поскольку $KN \subset \beta$ и $AB \subset \alpha$, точка $Q$ принадлежит обеим плоскостям: $Q \in \alpha$ и $Q \in \beta$.

Таким образом, все три точки $P$, $E$ и $Q$ являются общими для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть принадлежат их пересечению.

Теперь рассмотрим два возможных варианта взаимного расположения плоскостей $\alpha$ и $\beta$:

1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают ($\alpha = \beta$). В этом случае все точки ($A, B, C, M, N, K$) и все прямые лежат в одной плоскости. Данная конфигурация возможна и не противоречит условию.

2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны ($\alpha \neq \beta$). Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, содержащей все их общие точки. Следовательно, точки $P$, $E$ и $Q$ должны лежать на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Изображение на рисунке 2.7 как раз соответствует этому случаю.

Поскольку условие задачи допускает как совпадение плоскостей, так и их пересечение по прямой, нельзя однозначно утверждать, что плоскости $ABC$ и $MNK$ всегда совпадают. Наличие точек пересечения $P, E, Q$ не является достаточным условием для совпадения плоскостей.

Ответ: Нет, не верно. Плоскости $ABC$ и $MNK$ могут быть различными. В этом случае они будут пересекаться по прямой, на которой лежат точки $P$, $E$ и $Q$.