Номер 19, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 19, страница 16.

Условие.

2.19. На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точку $M$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если площадь треугольника $AMD$ равна $16 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания параллелограмма выберем сторону $AD$. Пусть $h$ — высота параллелограмма, проведенная из вершины $B$ (или любой точки на прямой $BC$) к основанию $AD$. Тогда площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = AD \cdot h$.

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его площадь вычисляется по формуле $S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_M$, где $h_M$ — высота треугольника, проведенная из вершины $M$ к основанию $AD$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, а в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC \parallel AD$), то расстояние от любой точки на прямой $BC$ до прямой $AD$ одинаково и равно высоте параллелограмма $h$. Следовательно, высота треугольника $h_M$ равна высоте параллелограмма $h$.

Таким образом, мы можем записать площадь треугольника $AMD$ как $S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

Сравнивая формулы для площади параллелограмма и треугольника, получаем:$S_{\triangle AMD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

По условию задачи, площадь треугольника $AMD$ равна $16 \text{ см}^2$. Подставим это значение в полученное соотношение:$16 = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Отсюда находим площадь параллелограмма $ABCD$:$S_{ABCD} = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см}^2$.

Ответ: $32 \text{ см}^2$.