Номер 16, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 16, страница 16.

Условие.

2.16. Точка $C$ лежит на прямой $AB$, а точка $D$ не лежит на этой прямой. Точка $E$ лежит на прямой $AD$. Докажите, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают, необходимо показать, что три точки, определяющие плоскость $CDE$ (точки $C$, $D$ и $E$), лежат в плоскости $ABD$.

Плоскость $ABD$ однозначно задана, так как по условию точка $D$ не лежит на прямой $AB$, а это значит, что точки $A$, $B$ и $D$ не лежат на одной прямой.

Рассмотрим принадлежность точек $C, D$ и $E$ плоскости $ABD$:

1. По условию, точка $C$ лежит на прямой $AB$. Так как точки $A$ и $B$ по определению принадлежат плоскости $ABD$, то согласно аксиоме стереометрии (если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости) вся прямая $AB$ лежит в плоскости $ABD$. Следовательно, точка $C$ также принадлежит плоскости $ABD$.

2. Точка $D$ по определению принадлежит плоскости $ABD$, так как является одной из точек, задающих эту плоскость.

3. По условию, точка $E$ лежит на прямой $AD$. Так как точки $A$ и $D$ принадлежат плоскости $ABD$, то по той же аксиоме вся прямая $AD$ лежит в плоскости $ABD$. Следовательно, точка $E$ также принадлежит плоскости $ABD$.

Таким образом, все три точки — $C$, $D$ и $E$ — лежат в одной плоскости $ABD$.

Точки $C, D, E$ задают плоскость $CDE$, а значит, они не лежат на одной прямой. Убедимся в этом. Точки $D$ и $E$ лежат на прямой $AD$. Если бы точка $C$ тоже лежала на этой прямой, то, поскольку $C$ также лежит на прямой $AB$, она должна была бы быть точкой пересечения прямых $AB$ и $AD$. Это возможно, только если $C$ совпадает с $A$ или если прямые $AB$ и $AD$ совпадают. Совпадение прямых $AB$ и $AD$ невозможно, так как это означало бы, что точка $D$ лежит на прямой $AB$, что противоречит условию. Случай, когда $C$ совпадает с $A$, привел бы к тому, что точки $C, D, E$ лежат на одной прямой $AD$, а три коллинеарные точки не задают плоскость. Условие существования плоскости $CDE$ исключает этот случай.

Итак, мы имеем три неколлинеарные точки $C, D, E$, которые задают единственную плоскость $CDE$. Поскольку все эти три точки также лежат в плоскости $ABD$, то по аксиоме о единственности плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, следует, что плоскости $ABD$ и $CDE$ совпадают.

Ответ: Что и требовалось доказать.