Номер 12, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 12, страница 15.

Условие.

2.12. Три прямые пересекаются в одной точке. Через каждые две из этих прямых проведена плоскость. Сколько всего плоскостей проведено?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо использовать аксиому стереометрии, которая гласит: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Пусть даны три прямые, обозначим их $a$, $b$ и $c$. По условию, они все пересекаются в одной точке. Нам нужно определить, сколько плоскостей можно провести через каждые две из этих прямых.

Сначала посчитаем, сколько всего пар можно составить из трех прямых. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество прямых $n=3$, а в каждой паре $k=2$ прямые.
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$.

Таким образом, мы можем сформировать 3 пары прямых: ($a$, $b$), ($a$, $c$) и ($b$, $c$). Каждая такая пара пересекающихся прямых однозначно задает плоскость. Теперь нужно определить, будут ли эти три плоскости различными. Это зависит от взаимного расположения прямых в пространстве.

Возможны два случая:

1. Все три прямые лежат в одной плоскости.
Если прямые $a$, $b$ и $c$ изначально лежат в одной и той же плоскости (являются компланарными), то плоскость, проведенная через любую пару из них (например, через $a$ и $b$), будет совпадать с исходной плоскостью. Таким образом, все три пары прямых определяют одну и ту же плоскость. В этом случае будет проведена всего одна плоскость.

2. Три прямые не лежат в одной плоскости (общий случай).
Это более общая ситуация, которую можно представить на примере трех осей координат ($Ox, Oy, Oz$), пересекающихся в начале координат. Плоскость, определенная парой прямых $a$ и $b$, не будет содержать прямую $c$, иначе все три прямые оказались бы в одной плоскости, что противоречит условию данного случая. Следовательно, плоскости, определенные парами ($a, b$), ($a, c$) и ($b, c$), будут различными. В этом случае будет проведено три различные плоскости.

В задачах по геометрии, если не указано иное, обычно предполагается общий случай расположения фигур.

Ответ: Если три прямые не лежат в одной плоскости, то проведено 3 плоскости. Если все три прямые лежат в одной плоскости, то проведена 1 плоскость.