Номер 15, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 15, страница 16.

Условие.

2.15. Найдите ошибку на рисунке 2.6, если известно, что прямые BP и CK пересекаются в точке E, прямая BP пересекает прямую AC в точке B, прямая FM – в точке P, прямая CK пересекает прямую FM в точке K, прямые AC, FE и FM пересекают плоскость $ \alpha $ в точках A, D и M соответственно. Выполните правильный рисунок.

Рис. 2.6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нахождение ошибки на рисунке

Для нахождения ошибки в изображении проанализируем геометрическую конфигурацию, описанную в условии задачи.

1. По условию, прямые $BP$ и $CK$ пересекаются в точке $E$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, все точки, принадлежащие этим прямым, а именно $B, P, C, K, E$, лежат в плоскости $\beta$.

2. Прямая $BP$ пересекает прямую $FM$ в точке $P$. Так как точки $B$ и $P$ лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая $BP$ принадлежит этой плоскости. Аналогично, прямая $CK$ (содержащая точки $C$ и $K$ из $\beta$) также полностью лежит в плоскости $\beta$.

3. Прямая $FM$ проходит через точки $P$ и $K$. Поскольку точки $P$ (на прямой $BP$) и $K$ (на прямой $CK$) принадлежат плоскости $\beta$, то и вся прямая $FM$, проходящая через эти две точки, лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точки $F$ и $M$ также принадлежат плоскости $\beta$.

4. Прямая $AC$ проходит через точки $B$ и $C$. Так как $B \in \beta$ и $C \in \beta$, вся прямая $AC$ также лежит в плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$.

5. Прямая $FE$ проходит через точки $F$ и $E$, которые, как мы установили, обе принадлежат плоскости $\beta$. Значит, прямая $FE$ также лежит в плоскости $\beta$.

Из проведенного анализа следует, что все основные прямые фигуры ($AC, FE, FM$) лежат в одной плоскости $\beta$. По условию, эти прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A, D$ и $M$ соответственно. Эти точки являются общими для обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Согласно теореме о пересечении двух плоскостей, если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, содержащей все их общие точки. Следовательно, все точки пересечения $A, D, M$ должны лежать на одной прямой — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

На рисунке 2.6 точки $A, D, M$ не лежат на одной прямой, а образуют треугольник. Это противоречит выводам, сделанным из условия задачи.

Ответ: Ошибка на рисунке заключается в том, что точки $A, D$ и $M$ не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой), хотя как точки, принадлежащие одновременно двум плоскостям $\alpha$ и $\beta$, они должны лежать на линии пересечения этих плоскостей.

Правильный рисунок

При построении правильного рисунка необходимо изобразить точки $A, D, M$ лежащими на одной прямой в плоскости $\alpha$. Все остальные элементы конструкции будут находиться в плоскости $\beta$, которая пересекает плоскость $\alpha$ по этой прямой.

Ответ: