Номер 11, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 11, страница 15.

Условие.

2.11. Даны пять точек, не лежащих в одной плоскости. Какое наибольшее количество из них может лежать на одной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для ответа на этот вопрос рассмотрим максимальное возможное количество точек, лежащих на одной прямой, и проверим, не противоречит ли это условию, что все пять точек не лежат в одной плоскости. Будем рассуждать методом от противного, начиная с наибольшего возможного числа.

1. Предположим, что 5 точек могут лежать на одной прямой. Если все пять точек лежат на одной прямой, то через эту прямую можно провести плоскость (и даже бесконечно много плоскостей). В такой плоскости будут лежать все пять точек, что противоречит условию задачи. Следовательно, все пять точек не могут лежать на одной прямой.

2. Предположим, что 4 точки могут лежать на одной прямой. Обозначим эту прямую как $l$. Пятая точка, по определению, не может лежать на этой прямой (иначе мы бы вернулись к предыдущему случаю). Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. В нашем случае через прямую $l$ (на которой лежат четыре точки) и пятую точку можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать все пять точек. Это снова противоречит условию, что точки не лежат в одной плоскости. Следовательно, четыре точки также не могут лежать на одной прямой.

3. Рассмотрим случай, когда 3 точки лежат на одной прямой. Проверим, возможна ли такая конфигурация. Пусть три точки ($A, B, C$) лежат на прямой $l$. Возьмем четвертую точку $D$ так, чтобы она не лежала на прямой $l$. Через прямую $l$ и точку $D$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\alpha$. В этой плоскости лежат точки $A, B, C, D$. Чтобы выполнить условие задачи, пятая точка $E$ не должна лежать в плоскости $\alpha$. Такое расположение точек в пространстве возможно. Мы построили пример, где пять точек не лежат в одной плоскости, но три из них лежат на одной прямой.

Таким образом, мы показали, что 5 и 4 точки не могут лежать на одной прямой, а 3 точки — могут. Это означает, что наибольшее возможное количество точек, лежащих на одной прямой, равно трем.

Ответ: 3