Номер 4, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 4, страница 15.

Условие.

2.4. Центр $O$ и хорда $AB$ окружности лежат в некоторой плоскости. Лежит ли в этой плоскости любая точка данной окружности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. Хорда $AB$ не является диаметром.
В этом случае центр окружности $O$ и концы хорды, точки $A$ и $B$, не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. По условию, точки $O$, $A$ и $B$ лежат в некоторой плоскости $\alpha$. В то же время, окружность по определению — это плоская фигура, и все её точки, включая $O$, $A$ и $B$, лежат в плоскости самой окружности, назовём её $\pi$. Поскольку обе плоскости, $\alpha$ и $\pi$, проходят через одни и те же три неколлинеарные точки, эти плоскости обязаны совпадать ($\alpha = \pi$). Следовательно, в этом случае вся окружность лежит в плоскости $\alpha$.

2. Хорда $AB$ является диаметром.
В этом случае точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество различных плоскостей. Плоскость $\pi$, в которой лежит окружность, является одной из таких плоскостей, и она, разумеется, содержит и центр $O$, и хорду $AB$. Однако можно выбрать и другую плоскость, $\alpha$, которая также проходит через прямую $AB$, но не совпадает с плоскостью $\pi$ (например, повернута относительно прямой $AB$). Такая плоскость $\alpha$ будет удовлетворять условию задачи (содержать центр $O$ и хорду-диаметр $AB$), но из всех точек окружности в ней будут лежать только концы диаметра $A$ и $B$. Все остальные точки окружности не будут принадлежать этой плоскости.

Поскольку вопрос "Лежит ли ... любая точка?" подразумевает, выполняется ли это условие всегда, а мы нашли случай, когда это не так, то общий ответ на вопрос — нет.

Ответ: Не обязательно. Если хорда $AB$ является диаметром, то через прямую, содержащую этот диаметр, можно провести бесконечное множество плоскостей. Только одна из этих плоскостей будет содержать всю окружность. Все остальные плоскости будут содержать только две точки окружности — концы этого диаметра.