Номер 1, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 1, страница 14.

Условие.

1. Какие следствия из аксиом стереометрии вы знаете?

Решение 1.

Решение 3.

Следствия из аксиом стереометрии — это теоремы, которые доказываются непосредственно на основе трех основных аксиом стереометрии. Эти следствия устанавливают основные способы задания плоскости в пространстве.

Следствие 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$).

1. На прямой $a$ выберем две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Теперь у нас есть три точки: $A$, $B$ и $M$. Поскольку точка $M$ не лежит на прямой $a$ (проходящей через точки $A$ и $B$), эти три точки не лежат на одной прямой.
3. Согласно аксиоме 1 стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость $\alpha$.
4. Так как две точки $A$ и $B$ прямой $a$ принадлежат плоскости $\alpha$, то согласно аксиоме 2, вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.
5. Точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$ по построению.

Таким образом, мы доказали, что через прямую $a$ и точку $M$ проходит плоскость $\alpha$. Единственность этой плоскости следует из единственности плоскости, проходящей через три точки $A$, $B$ и $M$ (аксиома 1).

Ответ: Через любую прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести единственную плоскость.

Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть даны две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$ ($a \cap b = \{M\}$).

1. На прямой $a$ выберем точку $A$, отличную от точки $M$ ($A \in a, A \neq M$).
2. На прямой $b$ выберем точку $B$, отличную от точки $M$ ($B \in b, B \neq M$).
3. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой, так как в противном случае прямые $a$ и $b$ совпадали бы, что противоречит условию, что это две разные пересекающиеся прямые.
4. Согласно аксиоме 1, через три точки $A$, $B$ и $M$, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Назовем ее $\alpha$.
5. Так как точки $A$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме 2 вся прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$.
6. Аналогично, так как точки $B$ и $M$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме 2 вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, плоскость $\alpha$ проходит через обе пересекающиеся прямые $a$ и $b$, и эта плоскость единственна.

Ответ: Через любые две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Следствие 3: Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$). По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Нам нужно доказать, что такая плоскость единственна, опираясь на аксиомы.

1. На прямой $b$ выберем произвольную точку $M$.
2. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они не пересекаются, следовательно, точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).
3. Теперь у нас есть прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на ней. Согласно следствию 1 (доказанному выше), через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Назовем ее $\alpha$.
4. Итак, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и точку $M$. Докажем, что она содержит и всю прямую $b$.
5. Предположим, что плоскость $\beta$, в которой по определению лежат параллельные прямые $a$ и $b$, не совпадает с плоскостью $\alpha$. Тогда обе плоскости ($\alpha$ и $\beta$) проходят через прямую $a$ и точку $M$ (так как $M \in b$, а $b \subset \beta$). Но это противоречит следствию 1, согласно которому такая плоскость может быть только одна.
6. Следовательно, наше предположение неверно, и плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Это доказывает, что плоскость, проходящая через две параллельные прямые, единственна.

Ответ: Через любые две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.