Номер 23, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 23, страница 12.

Условие.

1.23. О плоскостях $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $\beta \cap \gamma = a$, $\alpha \cap \gamma = b$, $a \cap c = M$. Докажите, что $M \in b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения, что $M \in b$, воспользуемся определениями пересечения плоскостей и прямых.

По условию задачи дано:

1. $\alpha \cap \beta = c$ (Прямая $c$ — это пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$).

2. $\beta \cap \gamma = a$ (Прямая $a$ — это пересечение плоскостей $\beta$ и $\gamma$).

3. $\alpha \cap \gamma = b$ (Прямая $b$ — это пересечение плоскостей $\alpha$ и $\gamma$).

4. $a \cap c = M$ (Точка $M$ — это пересечение прямых $a$ и $c$).

Из условия $a \cap c = M$ следует, что точка $M$ принадлежит одновременно обеим прямым, то есть $M \in a$ и $M \in c$.

Рассмотрим последовательно, что означает принадлежность точки $M$ каждой из этих прямых:

1. Так как $M \in a$, а прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$ ($a = \beta \cap \gamma$), то точка $M$ по определению принадлежит обеим этим плоскостям. Следовательно, $M \in \beta$ и $M \in \gamma$.

2. Так как $M \in c$, а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$), то точка $M$ по определению принадлежит и этим двум плоскостям. Следовательно, $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.

Из первого пункта мы знаем, что $M \in \gamma$. Из второго пункта мы знаем, что $M \in \alpha$.

Таким образом, мы установили, что точка $M$ принадлежит одновременно и плоскости $\alpha$, и плоскости $\gamma$.

По условию задачи, прямая $b$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$ ($b = \alpha \cap \gamma$). Это означает, что прямая $b$ состоит из всех точек, которые принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\gamma$.

Поскольку точка $M$ принадлежит обеим плоскостям ($\alpha$ и $\gamma$), она по определению должна принадлежать линии их пересечения, то есть прямой $b$.

Следовательно, $M \in b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.