Номер 18, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 18, страница 12.

Условие.

1.18. О плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и прямой $a$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $a \subset \alpha$, $a \cap c = A$. Докажите, что $A \in \beta$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства того, что точка $A$ принадлежит плоскости $\beta$ ($A \in \beta$), будем исходить из данных условий задачи.

1. По условию, $a \cap c = A$. Это означает, что точка $A$ является точкой пересечения прямых $a$ и $c$. По определению пересечения, точка, являющаяся результатом пересечения двух множеств, принадлежит каждому из них. Следовательно, точка $A$ принадлежит прямой $c$, что можно записать как $A \in c$.

2. По условию, $\alpha \cap \beta = c$. Это означает, что прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. По определению линии пересечения плоскостей, все точки, принадлежащие этой линии, принадлежат обеим плоскостям. Следовательно, вся прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$, что можно записать как $c \subset \beta$.

3. Из первого пункта мы знаем, что $A \in c$. Из второго пункта мы знаем, что $c \subset \beta$. Если точка принадлежит прямой, а эта прямая целиком лежит в плоскости, то и сама точка принадлежит этой плоскости. Таким образом, из $A \in c$ и $c \subset \beta$ напрямую следует, что $A \in \beta$.

Утверждение доказано.

Ответ: Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $c$ (так как $A = a \cap c$), а прямая $c$ принадлежит плоскости $\beta$ (так как $c = \alpha \cap \beta$), то точка $A$ также принадлежит плоскости $\beta$.