Номер 17, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 17, страница 12.

Условие.

1.17. О плоскостях $\alpha$ и $\beta$ и прямой $a$ известно, что $\alpha \cap \beta = c$, $a \subset \alpha$, $a \cap \beta = M$. Докажите, что $a \cap c = M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения $a \cap c = M$ нам необходимо показать, что точка $M$ принадлежит пересечению прямых $a$ и $c$, и что это единственная точка в данном пересечении.

1. Докажем, что точка $M$ принадлежит пересечению $a \cap c$.

По определению, чтобы точка $M$ принадлежала пересечению $a \cap c$, она должна принадлежать обеим прямым: $M \in a$ и $M \in c$.

Из условия задачи известно, что $a \cap \beta = M$. Это означает, что точка $M$ является общей точкой для прямой $a$ и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$) и точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).

Также из условия дано, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Поскольку $M \in a$, то отсюда следует, что точка $M$ также лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Таким образом, мы установили, что точка $M$ принадлежит как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$. По условию, пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $c$ ($α \cap \beta = c$). Это означает, что любая точка, принадлежащая обеим плоскостям, принадлежит и прямой $c$. Следовательно, $M \in c$.

Поскольку мы показали, что $M \in a$ и $M \in c$, то по определению пересечения точка $M$ принадлежит пересечению прямых $a$ и $c$, то есть $M \in a \cap c$.

2. Докажем, что пересечение $a \cap c$ не содержит других точек, кроме $M$.

Допустим, существует некоторая точка $N$, которая также принадлежит пересечению $a \cap c$.

Если $N \in a \cap c$, то по определению пересечения $N \in a$ и $N \in c$.

Из условия $α \cap \beta = c$ следует, что прямая $c$ полностью лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$. В частности, $c \subset \beta$.

Поскольку $N \in c$ и $c \subset \beta$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\beta$ ($N \in \beta$).

Итак, мы получили, что точка $N$ принадлежит прямой $a$ ($N \in a$) и плоскости $\beta$ ($N \in \beta$). Это означает, что точка $N$ является точкой их пересечения, то есть $N \in a \cap \beta$.

Однако по условию задачи пересечение прямой $a$ и плоскости $\beta$ есть единственная точка $M$ ($a \cap \beta = M$).

Следовательно, точка $N$ должна совпадать с точкой $M$, то есть $N = M$.

Это доказывает, что в пересечении $a \cap c$ не может быть никакой другой точки, кроме $M$.

Вывод:

Мы доказали, что точка $M$ принадлежит пересечению $a \cap c$ и что она является единственной точкой этого пересечения. Следовательно, $a \cap c = M$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из того, что $M$ - общая точка для $a$ и $\beta$, и $a \subset \alpha$, следует, что $M$ лежит на линии пересечения $\alpha$ и $\beta$, то есть на прямой $c$. Так как $M$ также лежит на прямой $a$, то $M$ является точкой пересечения $a$ и $c$. Единственность этой точки следует из того, что $a$ и $\beta$ пересекаются только в одной точке $M$.