Номер 16, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 16, страница 12.

Условие.

1.16. Верно ли утверждение: любая прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, лежит в плоскости этого треугольника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Утверждение неверно.

Для того чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для любого треугольника. Мы покажем, что существует случай, когда оно не выполняется.

Рассмотрим расположение центров вписанной и описанной окружностей относительно плоскости, в которой лежит треугольник. Пусть эта плоскость будет $\alpha$.

• Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектрисы строятся в плоскости треугольника, поэтому их точка пересечения (инцентр) также лежит в плоскости $\alpha$.
• Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры также строятся в плоскости треугольника, следовательно, их точка пересечения (циркумцентр) тоже лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, обе точки — центр вписанной окружности (обозначим его I) и центр описанной окружности (обозначим его O) — всегда лежат в плоскости треугольника.

Теперь рассмотрим два возможных случая.

1. Если треугольник не является равносторонним, то его инцентр I и циркумцентр O — это две различные точки. Согласно основной аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Так как точки I и O лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая, проходящая через них, лежит в плоскости $\alpha$. Для такого типа треугольников утверждение верно.

2. Если треугольник является равносторонним, то его инцентр и циркумцентр (а также другие замечательные точки) совпадают. Обозначим эту единственную точку C. Утверждение "любая прямая, проходящая через центры" в этом случае означает "любая прямая, проходящая через точку C". Однако через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Лишь часть из них будет лежать в плоскости $\alpha$. Например, прямая, проходящая через точку C перпендикулярно плоскости $\alpha$, не лежит в этой плоскости (она ее только пересекает). Эта прямая проходит через "центры", но не удовлетворяет условию "лежит в плоскости этого треугольника".

Поскольку мы нашли контрпример (случай равностороннего треугольника), для которого исходное утверждение не выполняется, оно не может считаться верным в общем виде.

Ответ: неверно.