Номер 21, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 21, страница 12.

Условие.

1.21. Вершина $D$ четырёхугольника $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha$, а остальные вершины лежат вне этой плоскости. Продолжения сторон $BA$ и $BC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что точки $M$, $D$ и $K$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку $ABCD$ — это четырехугольник, все его вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$. Три вершины $A, B, C$ не лежат на одной прямой (иначе $BA$ и $BC$ были бы частями одной прямой), поэтому они однозначно задают эту плоскость $\beta$.

Рассмотрим точку $M$. По условию, $M$ — точка пересечения прямой $BA$ и плоскости $\alpha$. Это означает, что точка $M$ принадлежит как прямой $BA$, так и плоскости $\alpha$. Так как прямая $BA$ полностью лежит в плоскости $\beta$ (поскольку точки $A$ и $B$ лежат в ней), то и точка $M$, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично рассмотрим точку $K$. По условию, $K$ — точка пересечения прямой $BC$ и плоскости $\alpha$. Это означает, что $K$ принадлежит прямой $BC$ и плоскости $\alpha$. Прямая $BC$ полностью лежит в плоскости $\beta$ (поскольку точки $B$ и $C$ лежат в ней), следовательно, точка $K$ также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, точка $K$ также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Теперь рассмотрим точку $D$. По условию, вершина $D$ принадлежит плоскости $\alpha$. Также мы установили, что точка $D$, как вершина четырехугольника $ABCD$, принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $D$ также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Итак, мы имеем три точки $M, D$ и $K$, которые одновременно принадлежат двум различным плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ различны, так как по условию вершины $A, B, C$ лежат вне плоскости $\alpha$, но лежат в плоскости $\beta$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все их общие точки.

Следовательно, точки $M, D$ и $K$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: Что и требовалось доказать.