Номер 22, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 22, страница 12.

Условие.

1.22. Вершина $A$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины $B$ и $C$ лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $K$ и $E$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $K$ и $E$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Доказательство

1. Точки $A$, $B$ и $C$ определяют единственную плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

2. По условию, вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$. Также, по определению, вершина $A$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $A$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$.

3. Так как вершины $B$ и $C$ лежат в плоскости $(ABC)$, но не лежат в плоскости $\alpha$, эти две плоскости не совпадают. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$ как прямую $l$. Поскольку $A$ — общая точка этих плоскостей, то $A$ лежит на прямой $l$ ($A \in l$).

4. Рассмотрим точку $K$. По условию, $K$ — это точка пересечения продолжения медианы $BM$ и плоскости $\alpha$. Из этого следует, что точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($K \in \alpha$) и одновременно лежит на прямой $BM$.

5. Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ и точку $M$ (середину стороны $AC$). Обе эти точки, $B$ и $M$, лежат в плоскости треугольника $(ABC)$. Следовательно, вся прямая $BM$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

6. Так как точка $K$ лежит на прямой $BM$, она также принадлежит плоскости $(ABC)$ ($K \in (ABC)$). Мы уже знаем, что $K \in \alpha$. Таким образом, точка $K$ принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, должна лежать на линии их пересечения — прямой $l$.

7. Аналогичные рассуждения проведем для точки $E$. По условию, $E$ — это точка пересечения продолжения медианы $CN$ и плоскости $\alpha$. Значит, $E \in \alpha$ и $E$ лежит на прямой $CN$.

8. Медиана $CN$ соединяет точки $C$ и $N$ (середину стороны $AB$), которые обе лежат в плоскости $(ABC)$. Значит, вся прямая $CN$ лежит в плоскости $(ABC)$.

9. Так как точка $E$ лежит на прямой $CN$, она также принадлежит плоскости $(ABC)$ ($E \in (ABC)$). Мы уже знаем, что $E \in \alpha$. Таким образом, точка $E$ принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, должна лежать на линии их пересечения — прямой $l$.

10. Мы доказали, что каждая из точек $A$, $K$ и $E$ лежит на прямой $l$, которая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$. Следовательно, точки $A$, $K$ и $E$ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.