Номер 15, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 15, страница 12.

Условие.

1.15. Квадраты $ABCD$ и $ABC_1D_1$ не лежат в од-ной плоскости (рис. 1.19). На отрезке $AD$отметили точку $E$, а на отрезке $BC_1$ — точ-ку $F$. Постройте точку пересечения:

1) прямой $CE$ с плоскостью $ABC_1$;

2) прямой $FD_1$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 1.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Построение точки пересечения прямой $CE$ с плоскостью $ABC_1$.

Прямая $CE$ лежит в плоскости квадрата $ABCD$, так как точки $C$ и $E$ (точка на отрезке $AD$) принадлежат этой плоскости. Обозначим эту плоскость $(ABC)$. Искомая точка пересечения $K$ должна лежать на прямой $CE$ и в плоскости $ABC_1$.

Поскольку $K \in CE$, а прямая $CE \subset (ABC)$, то точка $K$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $K$ принадлежит обеим плоскостям: $(ABC)$ и $(ABC_1)$.

Линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABC_1)$ является прямая $AB$, так как обе плоскости содержат точки $A$ и $B$. Значит, искомая точка $K$ должна лежать на прямой $AB$.

Таким образом, точка $K$ является точкой пересечения прямых $CE$ и $AB$. Для ее построения необходимо в плоскости $(ABC)$ продлить отрезки $CE$ и $BA$ до их пересечения. Так как в квадрате $ABCD$ прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а прямая $CE$ не параллельна $AB$ (поскольку $E$ не совпадает с $D$ и $C$ не лежит на прямой $AD$), то прямые $CE$ и $AB$ пересекутся в единственной точке.

Ответ: Точка пересечения прямой $CE$ с плоскостью $ABC_1$ является точкой пересечения прямых $CE$ и $AB$.

2) Построение точки пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $ABC$.

Прямая $FD_1$ лежит в плоскости квадрата $ABC_1D_1$, так как точки $F$ (точка на отрезке $BC_1$) и $D_1$ принадлежат этой плоскости. Обозначим эту плоскость $(ABC_1)$. Искомая точка пересечения $L$ должна лежать на прямой $FD_1$ и в плоскости $ABC$.

Поскольку $L \in FD_1$, а прямая $FD_1 \subset (ABC_1)$, то точка $L$ также лежит в плоскости $(ABC_1)$. Следовательно, точка $L$ принадлежит обеим плоскостям: $(ABC)$ и $(ABC_1)$.

Как и в предыдущем пункте, линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABC_1)$ является прямая $AB$. Значит, искомая точка $L$ должна лежать на прямой $AB$.

Таким образом, точка $L$ является точкой пересечения прямых $FD_1$ и $AB$. Для ее построения необходимо в плоскости $(ABC_1)$ продлить отрезки $FD_1$ и $AB$ до их пересечения. Так как в квадрате $ABC_1D_1$ прямые $AB$ и $C_1D_1$ параллельны, а прямая $FD_1$ не параллельна $AB$ (поскольку $F$ не совпадает с $C_1$ и $D_1$ не лежит на прямой $BC_1$), то прямые $FD_1$ и $AB$ пересекутся в единственной точке.

Ответ: Точка пересечения прямой $FD_1$ с плоскостью $ABC$ является точкой пересечения прямых $FD_1$ и $AB$.