Номер 20, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 20, страница 12.

Условие.

1.20. Докажите, что если две соседние вершины четырёхугольника и точка пересечения его диагоналей принадлежат одной плоскости, то и две другие вершины принадлежат этой плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, две соседние вершины и точка пересечения диагоналей принадлежат одной плоскости $\alpha$. Без ограничения общности, выберем в качестве этих вершин $A$ и $B$. Таким образом, нам дано, что точки $A$, $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$ (то есть $A \in \alpha$, $B \in \alpha$ и $O \in \alpha$).

Требуется доказать, что две другие вершины, $C$ и $D$, также принадлежат этой плоскости.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямую, содержащую диагональ $AC$. Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на этой прямой. По условию, точки $A$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости. Следовательно, вся прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. Так как вершина $C$ принадлежит прямой $AC$, то она также принадлежит и плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).

3. Аналогично рассмотрим прямую, содержащую диагональ $BD$. Точки $B$, $O$ и $D$ лежат на этой прямой. По условию, точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$. Применяя ту же аксиому, заключаем, что вся прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$.

4. Так как вершина $D$ принадлежит прямой $BD$, то она также принадлежит и плоскости $\alpha$ ($D \in \alpha$).

Таким образом, доказано, что две другие вершины четырехугольника, $C$ и $D$, также принадлежат плоскости $\alpha$. Это означает, что все четыре вершины четырехугольника лежат в одной плоскости, то есть четырехугольник является плоским.

Ответ: Утверждение доказано. Если две соседние вершины (например, $A$ и $B$) и точка пересечения диагоналей $O$ лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая, проходящая через точки $A$ и $O$ (содержащая диагональ $AC$), лежит в этой плоскости. Значит, третья вершина $C$ тоже лежит в этой плоскости. Аналогично, вся прямая, проходящая через точки $B$ и $O$ (содержащая диагональ $BD$), лежит в этой плоскости, а значит, и четвертая вершина $D$ лежит в ней.