Номер 25, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 1. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 25, страница 12.

Условие.

1.25. Пять точек, являющиеся серединами звеньев замкнутой ломаной $ABCDE$, принадлежат плоскости $\alpha$. Докажите, что точки $A, B, C, D$ и $E$ принадлежат этой же плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Пусть в пространстве задана некоторая система координат. Обозначим радиус-векторы вершин замкнутой ломаной $A, B, C, D, E$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ соответственно.

Пусть $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ — середины звеньев $AB, BC, CD, DE, EA$. Их радиус-векторы можно выразить через радиус-векторы вершин ломаной:

• Радиус-вектор $M_1$ (середины $AB$): $\vec{m_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
• Радиус-вектор $M_2$ (середины $BC$): $\vec{m_2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
• Радиус-вектор $M_3$ (середины $CD$): $\vec{m_3} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
• Радиус-вектор $M_4$ (середины $DE$): $\vec{m_4} = \frac{\vec{d} + \vec{e}}{2}$
• Радиус-вектор $M_5$ (середины $EA$): $\vec{m_5} = \frac{\vec{e} + \vec{a}}{2}$

По условию задачи, все пять точек $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ принадлежат одной плоскости $\alpha$. Уравнение любой плоскости в пространстве можно записать в векторной форме как $\vec{r} \cdot \vec{n} = k$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор произвольной точки на плоскости, $\vec{n}$ — ненулевой вектор, перпендикулярный (нормальный) к плоскости, а $k$ — некоторая константа.

Так как точки $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ лежат в плоскости $\alpha$, их радиус-векторы удовлетворяют уравнению этой плоскости:

$\vec{m_1} \cdot \vec{n} = k \implies \left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right) \cdot \vec{n} = k \implies \vec{a} \cdot \vec{n} + \vec{b} \cdot \vec{n} = 2k$

$\vec{m_2} \cdot \vec{n} = k \implies \left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}\right) \cdot \vec{n} = k \implies \vec{b} \cdot \vec{n} + \vec{c} \cdot \vec{n} = 2k$

$\vec{m_3} \cdot \vec{n} = k \implies \left(\frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}\right) \cdot \vec{n} = k \implies \vec{c} \cdot \vec{n} + \vec{d} \cdot \vec{n} = 2k$

$\vec{m_4} \cdot \vec{n} = k \implies \left(\frac{\vec{d} + \vec{e}}{2}\right) \cdot \vec{n} = k \implies \vec{d} \cdot \vec{n} + \vec{e} \cdot \vec{n} = 2k$

$\vec{m_5} \cdot \vec{n} = k \implies \left(\frac{\vec{e} + \vec{a}}{2}\right) \cdot \vec{n} = k \implies \vec{e} \cdot \vec{n} + \vec{a} \cdot \vec{n} = 2k$

Для удобства введем обозначения: $x_A = \vec{a} \cdot \vec{n}$, $x_B = \vec{b} \cdot \vec{n}$, $x_C = \vec{c} \cdot \vec{n}$, $x_D = \vec{d} \cdot \vec{n}$, $x_E = \vec{e} \cdot \vec{n}$. Заметим, что условие принадлежности точки $P$ плоскости $\alpha$ эквивалентно равенству $x_P = k$. Мы получили систему из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:

1. $x_A + x_B = 2k$
2. $x_B + x_C = 2k$
3. $x_C + x_D = 2k$
4. $x_D + x_E = 2k$
5. $x_E + x_A = 2k$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_B$: $x_B = 2k - x_A$.

Подставим это выражение для $x_B$ во второе уравнение: $(2k - x_A) + x_C = 2k$, откуда получаем $x_C = x_A$.

Подставим $x_C = x_A$ в третье уравнение: $x_A + x_D = 2k$, откуда $x_D = 2k - x_A$.

Подставим это выражение для $x_D$ в четвертое уравнение: $(2k - x_A) + x_E = 2k$, откуда $x_E = x_A$.

Наконец, подставим полученное выражение $x_E = x_A$ в пятое уравнение: $x_A + x_A = 2k$, что дает $2x_A = 2k$, и следовательно, $x_A = k$.

Теперь, когда мы нашли значение $x_A$, мы можем последовательно найти значения для всех остальных переменных:

$x_B = 2k - x_A = 2k - k = k$

$x_C = x_A = k$

$x_D = 2k - x_A = 2k - k = k$

$x_E = x_A = k$

Таким образом, мы доказали, что $x_A = x_B = x_C = x_D = x_E = k$.

Это означает, что для каждой из вершин $A, B, C, D, E$ выполняется условие $\vec{p} \cdot \vec{n} = k$, где $\vec{p}$ — соответствующий радиус-вектор. А это и есть условие принадлежности точки плоскости $\alpha$. Следовательно, все пять вершин $A, B, C, D, E$ лежат в той же плоскости $\alpha$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A, B, C, D$ и $E$ принадлежат плоскости $\alpha$.