Номер 3, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 3, страница 15.

Условие.

2.3. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ лежат в одной плоскости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

2.3.

Для доказательства воспользуемся аксиомами и следствиями из аксиом стереометрии.

1. По условию, прямые $AB$ и $CD$ пересекаются. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту единственную плоскость как $\alpha$.

2. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямые $AB$ и $CD$, то обе эти прямые лежат в данной плоскости. Это означает, что все точки этих прямых принадлежат плоскости $\alpha$.

3. Из этого следует, что точки $A$ и $B$ (принадлежащие прямой $AB$) и точки $C$ и $D$ (принадлежащие прямой $CD$) все лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. То есть, $A \in \alpha$, $B \in \alpha$, $C \in \alpha$ и $D \in \alpha$.

4. Теперь рассмотрим прямую $AC$. Она определяется двумя точками: $A$ и $C$. Так как обе эти точки, $A$ и $C$, лежат в плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости), прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

5. Аналогично рассмотрим прямую $BD$. Она проходит через точки $B$ и $D$. Поскольку обе точки, $B$ и $D$, лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($BD \subset \alpha$).

6. Таким образом, мы установили, что обе прямые, $AC$ и $BD$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Следовательно, они лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.