Номер 10, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 10, страница 15.

Условие.

2.10. Прямая BA пересекает плоскость $\alpha$ в точке A, прямая BC — в точке C (рис. 2.4). На отрезке AB отметили точку D, на отрезке BC — точку E. Постройте точку пересечения прямой DE с плоскостью $\alpha$.

Рис. 2.4

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы построить точку пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой $DE$, и плоскости $\alpha$. Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей.

1. Прямые $BA$ и $BC$ пересекаются в точке $B$, следовательно, они задают единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $(ABC)$.

2. По условию, точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $BC$. Так как прямые $AB$ и $BC$ лежат в плоскости $(ABC)$, то и точки $D$ и $E$ принадлежат этой плоскости. По аксиоме стереометрии, если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $DE$ целиком лежит в плоскости $(ABC)$.

3. Искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$ является общей точкой для прямой $DE$ и плоскости $\alpha$. Так как прямая $DE$ лежит во вспомогательной плоскости $(ABC)$, то искомая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$.

4. Найдем линию пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$. По условию задачи, прямая $BA$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, а прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $C$. Это означает, что точки $A$ и $C$ являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$ — это прямая $AC$.

5. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения прямой $DE$ и прямой $AC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ABC)$, поэтому (в общем случае, если они не параллельны) они пересекаются в одной точке.

Алгоритм построения:

1. Соединить точки $A$ и $C$, построив прямую $AC$. Эта прямая полностью лежит в плоскости $\alpha$.
2. Провести прямую через точки $D$ и $E$.
3. Найти точку пересечения прямых $AC$ и $DE$. Эта точка, обозначим ее $F$, и будет искомой точкой пересечения.

Обоснование: Точка $F$ является искомой, так как по построению она принадлежит прямой $DE$ ($F \in DE$) и одновременно принадлежит прямой $AC$ ($F \in AC$). Поскольку прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$), то и точка $F$ лежит в плоскости $\alpha$ ($F \in \alpha$).

Ответ: искомая точка пересечения прямой $DE$ с плоскостью $\alpha$ является точкой пересечения прямых $DE$ и $AC$.