Номер 13, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 13, страница 15.

Условие.

2.13. Как при помощи двух нитей столяр может проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы проверить, лежат ли концы четырёх ножек стула в одной плоскости, столяр должен воспользоваться свойством прямых и плоскостей в пространстве. Четыре точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда прямые, соединяющие их попарно (диагонали), пересекаются или параллельны. В общем случае ножки стула образуют четырёхугольник, диагонали которого не параллельны.

Процесс проверки выглядит следующим образом:

1. Обозначим концы ножек стула как точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы точки $A$ и $C$ были на одной диагонали, а $B$ и $D$ — на другой.
2. Первую нить следует туго натянуть между концами ножек $A$ и $C$. Эта нить будет представлять собой диагональ $AC$.
3. Вторую нить следует туго натянуть между концами ножек $B$ и $D$. Эта нить будет представлять собой диагональ $BD$.
4. Далее необходимо проверить взаимное расположение двух натянутых нитей.

Анализ результата:

• Если нити пересекаются (касаются друг друга в одной точке), это означает, что диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются. Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Поскольку все четыре точки ($A$, $B$, $C$, $D$) лежат на этих двух прямых, они все принадлежат этой плоскости. Это означает, что концы ножек стула лежат в одной плоскости, и стул будет стоять на ровной поверхности устойчиво.
• Если нити не пересекаются (одна нить проходит над другой), это означает, что прямые, которым принадлежат диагонали, являются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Следовательно, четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ не могут лежать в одной плоскости. Это означает, что концы ножек стула не лежат в одной плоскости, и стул будет качаться на ровной поверхности.

Ответ: Столяру нужно натянуть две нити по диагоналям между концами ножек стула. Если нити пересекаются, то концы ножек лежат в одной плоскости. Если нити не пересекаются, то не лежат.