Номер 17, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 17, страница 16.

Условие.

2.17. Прямые $a$, $b$ и $c$ попарно пересекаются, причём точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые $a$, $b$ и $c$ в одной плоскости?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые, например, $a$ и $b$. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $c$. По условию, она пересекает прямую $a$ и прямую $b$. Пусть точка пересечения прямых $a$ и $c$ будет точка $A$, а точка пересечения прямых $b$ и $c$ будет точка $B$.

Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая точку $A$, лежат в этой плоскости. Значит, $A \in \alpha$.

Аналогично, поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все её точки, включая точку $B$, лежат в этой плоскости. Значит, $B \in \alpha$.

По условию, точки пересечения не совпадают, следовательно, точки $A$ и $B$ различны. Мы получили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, все три прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, лежат.