Номер 20, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Следствия из аксиом стереометрии. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 20, страница 16.

Условие.

2.20. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Найдите отрезок $BE$, если $AE = 10 \text{ см}$, $CE = 3 \text{ см}$, $DE = 6 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle BCE $, образованные пересечением отрезков $ AB $ и $ CD $ и параллельными прямыми $ AD $ и $ BC $.

1. Углы $ \angle AED $ и $ \angle BEC $ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $ AB $ и $ CD $.

$ \angle AED = \angle BEC $

2. Углы $ \angle DAE $ и $ \angle CBE $ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $ AD $ и $ BC $ и секущей $ AB $.

$ \angle DAE = \angle CBE $

3. Углы $ \angle ADE $ и $ \angle BCE $ равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $ AD $ и $ BC $ и секущей $ CD $.

$ \angle ADE = \angle BCE $

Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого, треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle BCE $ подобны по первому признаку подобия (по двум или трем углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE} = \frac{AD}{BC} $

Для нахождения отрезка $ BE $ воспользуемся первой частью пропорции, подставив известные значения:

$ AE = 10 $ см, $ CE = 3 $ см, $ DE = 6 $ см.

$ \frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE} $

$ \frac{10}{BE} = \frac{6}{3} $

Упростим правую часть уравнения:

$ \frac{10}{BE} = 2 $

Выразим $ BE $:

$ BE = \frac{10}{2} $

$ BE = 5 $ см.

Ответ: 5 см.