Номер 3, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 3, страница 22.

Условие.

3.3. На ребре $BC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Какая прямая является линией пересечения плоскостей:

1) $ASD$ и $ABC$;

2) $ASD$ и $BSC$;

3) $ASD$ и $ASC$?

Постройте сечение тетраэдра плоскостью $ASD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) ASD и ABC;
Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.

• Точка $A$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. Также точка $A$ является вершиной основания, поэтому она принадлежит плоскости $ABC$. Следовательно, $A$ — общая точка.
• Точка $D$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. По условию, точка $D$ лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости основания $ABC$. Значит, точка $D$ также принадлежит плоскости $ABC$. Следовательно, $D$ — общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $A$ и $D$, является линией пересечения данных плоскостей.
Ответ: $AD$.

2) ASD и BSC;
Аналогично находим две общие точки для плоскостей $ASD$ и $BSC$.

• Точка $S$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. Также точка $S$ является вершиной грани $BSC$, поэтому она принадлежит плоскости $BSC$. Следовательно, $S$ — общая точка.
• Точка $D$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. По условию, точка $D$ лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ является стороной грани $BSC$, поэтому точка $D$ также принадлежит плоскости $BSC$. Следовательно, $D$ — общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $S$ и $D$, является линией пересечения данных плоскостей.
Ответ: $SD$.

3) ASD и ASC;
Находим две общие точки для плоскостей $ASD$ и $ASC$.

• Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по их определению.
• Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по их определению.

Прямая, проходящая через две общие точки $A$ и $S$, является линией пересечения данных плоскостей. Эта прямая совпадает с ребром тетраэдра $AS$.
Ответ: $AS$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью ASD.
Сечение тетраэдра плоскостью — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра. Мы уже нашли линии пересечения плоскости $ASD$ с тремя гранями:

• Плоскость $ASD$ пересекает грань $ABC$ по отрезку $AD$.
• Плоскость $ASD$ пересекает грань $BSC$ по отрезку $SD$.
• Плоскость $ASD$ пересекает грань $ASC$ по отрезку $AS$.

Соединив эти отрезки, получаем треугольник $ASD$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра.
Ответ: Сечением является треугольник $ASD$.