Номер 9, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 9, страница 22.

Условие.

3.9. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.24). Точка $E$ принадлежит прямой $A_1B_1$, точка $F$ – прямой $BB_1$, точка $M$ – прямой $B_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью $EFM$.

Рис. 3.24

а

б

в

г

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения призмы плоскостью EFM в каждом из четырех случаев мы будем использовать метод следов. Этот метод заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы и определении вершин сечения как точек пересечения этих следов с ребрами призмы.

а

В данном случае все три точки E, F и M лежат на ребрах призмы.

1. Точки E и M лежат на ребрах $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Оба ребра принадлежат верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок EM является стороной искомого сечения и лежит на верхней грани.
2. Точки E и F лежат на ребрах $A_1B_1$ и $BB_1$. Оба ребра принадлежат передней грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок EF является стороной сечения и лежит на передней грани.
3. Точки F и M лежат на ребрах $BB_1$ и $B_1C_1$. Оба ребра принадлежат боковой грани $BB_1C_1C$. Следовательно, отрезок FM является стороной сечения и лежит на этой боковой грани.
4. Соединив эти три отрезка, мы получаем треугольник EFM, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $EFM$.

б

В этом случае точки E и F лежат на продолжениях ребер, а точка M — на ребре.

1. Начнем с плоскости передней грани $AA_1B_1B$. В этой плоскости лежат точки E и F. Проведем прямую $EF$. Она является следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Найдем точки ее пересечения с ребрами призмы: пусть $P_1 = EF \cap A_1A$ и $P_2 = EF \cap AB$. Отрезок $P_1P_2$ — это сторона сечения на грани $AA_1B_1B$.
2. Рассмотрим плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В ней лежат точки E и M. Проведем прямую $EM$. Она является следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Точка M уже является вершиной сечения, так как лежит на ребре $B_1C_1$. Найдем вторую вершину как точку пересечения прямой $EM$ с другим ребром верхней грани: $P_3 = EM \cap A_1D_1$. Отрезок $MP_3$ — это сторона сечения.
3. Теперь у нас есть вершины $P_1$ и $P_3$, которые обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. Соединим их и получим сторону сечения $P_1P_3$.
4. Рассмотрим грань $BB_1C_1C$. На ней уже есть вершина M. В плоскости этой грани также лежат точки F и M. Прямая $FM$ является следом секущей плоскости. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $BC$: $P_4 = FM \cap BC$. Отрезок $MP_4$ — сторона сечения.
5. Наконец, соединим вершины, лежащие в плоскости нижнего основания $ABCD$. Это точки $P_2$ (на ребре $AB$) и $P_4$ (на ребре $BC$). Соединив их, получаем последнюю сторону сечения $P_2P_4$.
6. В результате мы построили замкнутый многоугольник $P_1P_2P_4MP_3$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $P_1P_2P_4MP_3$.

в

В этом случае все три точки E, F, M лежат на продолжениях ребер призмы.

1. След на грани $AA_1B_1B$: Точки E (на прямой $A_1B_1$) и F (на прямой $BB_1$) лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Прямая $EF$ является следом секущей плоскости на этой грани. Находим точки пересечения прямой $EF$ с ребрами этой грани: $P_1 = EF \cap B_1B$ и $P_2 = EF \cap AB$. Отрезок $P_1P_2$ — сторона сечения.
2. След на грани $BB_1C_1C$: Точки F (на прямой $BB_1$) и M (на прямой $B_1C_1$) лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$. Прямая $FM$ является следом. Находим точки пересечения прямой $FM$ с ребрами этой грани: $P_3 = FM \cap BC$ и $P_4 = FM \cap C_1C$. Отрезок $P_3P_4$ — сторона сечения.
3. След на грани $A_1B_1C_1D_1$: Точки E (на прямой $A_1B_1$) и M (на прямой $B_1C_1$) лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $EM$ является следом. Находим точки пересечения прямой $EM$ с ребрами этой грани: $P_5 = EM \cap B_1C_1$ и $P_6 = EM \cap C_1D_1$. Отрезок $P_5P_6$ — сторона сечения.
4. Построение многоугольника сечения: Соединяем полученные вершины, которые лежат на одной грани, чтобы замкнуть контур сечения.
   • На грани $ABCD$ лежат точки $P_2 \in AB$ и $P_3 \in BC$. Соединяем их, получаем сторону $P_2P_3$.
   • На грани $DD_1C_1C$ лежат точки $P_4 \in C_1C$ и $P_6 \in C_1D_1$. Соединяем их, получаем сторону $P_4P_6$.
   • На грани $BB_1C_1C$ лежат точки $P_1 \in B_1B$ и $P_5 \in B_1C_1$. Соединяем их, получаем сторону $P_1P_5$.
5. Объединяя все найденные отрезки, получаем замкнутый многоугольник $P_1P_2P_3P_4P_6P_5P_1$.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $P_1P_2P_3P_4P_6P_5$.

г

В данном случае, как и в предыдущем, точки E, F, M лежат на продолжениях ребер. Для построения воспользуемся свойством параллельности следов на параллельных гранях.

1. След на верхней грани: Точки E и M лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Проведем прямую $EM$, которая является следом секущей плоскости на этой грани. Найдем ее точки пересечения с ребрами: $P_1 = EM \cap A_1D_1$ и $P_2 = EM \cap D_1C_1$. Отрезок $P_1P_2$ — сторона сечения.
2. След на нижней грани: Плоскость нижнего основания $ABCD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, след секущей плоскости на нижней грани будет параллелен следу на верхней грани, то есть прямой $EM$.
3. Чтобы построить след на нижней грани, найдем хотя бы одну его точку. Для этого найдем точку пересечения прямой $EF$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью основания $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости передней грани $AA_1B_1B$, которая пересекает плоскость основания по прямой $AB$. Пусть $K = EF \cap AB$. Точка K принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, а значит, лежит на их линии пересечения (следе).
4. Теперь через точку K проведем прямую, параллельную $EM$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости основания. Найдем точки пересечения этого следа с ребрами основания: $P_3 = K P_3 \cap AD$ и $P_4 = K P_4 \cap CD$. Отрезок $P_3P_4$ — сторона сечения.
5. Завершение построения: У нас есть четыре вершины сечения: $P_1 \in A_1D_1$, $P_2 \in D_1C_1$, $P_3 \in AD$, $P_4 \in CD$. Соединим вершины, лежащие на боковых гранях:
   • $P_1$ и $P_3$ лежат на грани $AA_1D_1D$. Соединяем их, получаем сторону $P_1P_3$.
   • $P_2$ и $P_4$ лежат на грани $CC_1D_1D$. Соединяем их, получаем сторону $P_2P_4$.
6. В результате получаем четырехугольник $P_1P_2P_4P_3$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $P_1P_2P_4P_3$.