Страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.2. На рисунке 3.22 изображена пирамида $MABC$. Укажите:

1) основание пирамиды;

2) вершину пирамиды;

3) боковые грани пирамиды;

4) боковые рёбра пирамиды;

5) рёбра основания пирамиды.

Рис. 3.22

1) основание пирамиды;

Основание пирамиды — это многоугольник, который лежит в её основании и не содержит вершину пирамиды. В пирамиде MABC, где M — вершина, основанием является многоугольник, образованный точками A, B и C. Это треугольник ABC.

Ответ: $\triangle ABC$.

2) вершину пирамиды;

Вершина пирамиды — это общая точка всех боковых граней, не лежащая в плоскости основания. В пирамиде MABC этой точкой является M.

Ответ: Точка M.

3) боковые грани пирамиды;

Боковые грани пирамиды — это треугольники, которые сходятся в вершине пирамиды. Каждая боковая грань образована вершиной пирамиды и одной из сторон основания. В данной пирамиде это треугольники, образованные вершиной M и сторонами основания AB, BC и AC.

Ответ: $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MAC$.

4) боковые рёбра пирамиды;

Боковые рёбра — это отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания. В пирамиде MABC боковыми рёбрами являются отрезки, соединяющие вершину M с вершинами основания A, B и C.

Ответ: MA, MB, MC.

5) рёбра основания пирамиды.

Рёбра основания — это стороны многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Так как основанием является треугольник ABC, то рёбрами основания будут его стороны.

Ответ: AB, BC, AC.

3.3. На ребре $BC$ тетраэдра $SABC$ отметили точку $D$. Какая прямая является линией пересечения плоскостей:

1) $ASD$ и $ABC$;

2) $ASD$ и $BSC$;

3) $ASD$ и $ASC$?

Постройте сечение тетраэдра плоскостью $ASD$.

1) ASD и ABC;
Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.

• Точка $A$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. Также точка $A$ является вершиной основания, поэтому она принадлежит плоскости $ABC$. Следовательно, $A$ — общая точка.
• Точка $D$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. По условию, точка $D$ лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ целиком лежит в плоскости основания $ABC$. Значит, точка $D$ также принадлежит плоскости $ABC$. Следовательно, $D$ — общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $A$ и $D$, является линией пересечения данных плоскостей.
Ответ: $AD$.

2) ASD и BSC;
Аналогично находим две общие точки для плоскостей $ASD$ и $BSC$.

• Точка $S$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. Также точка $S$ является вершиной грани $BSC$, поэтому она принадлежит плоскости $BSC$. Следовательно, $S$ — общая точка.
• Точка $D$ принадлежит плоскости $ASD$ по определению. По условию, точка $D$ лежит на ребре $BC$. Ребро $BC$ является стороной грани $BSC$, поэтому точка $D$ также принадлежит плоскости $BSC$. Следовательно, $D$ — общая точка.

Прямая, проходящая через две общие точки $S$ и $D$, является линией пересечения данных плоскостей.
Ответ: $SD$.

3) ASD и ASC;
Находим две общие точки для плоскостей $ASD$ и $ASC$.

• Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям по их определению.
• Точка $S$ принадлежит обеим плоскостям по их определению.

Прямая, проходящая через две общие точки $A$ и $S$, является линией пересечения данных плоскостей. Эта прямая совпадает с ребром тетраэдра $AS$.
Ответ: $AS$.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью ASD.
Сечение тетраэдра плоскостью — это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани тетраэдра. Мы уже нашли линии пересечения плоскости $ASD$ с тремя гранями:

• Плоскость $ASD$ пересекает грань $ABC$ по отрезку $AD$.
• Плоскость $ASD$ пересекает грань $BSC$ по отрезку $SD$.
• Плоскость $ASD$ пересекает грань $ASC$ по отрезку $AS$.

Соединив эти отрезки, получаем треугольник $ASD$. Этот треугольник и является искомым сечением тетраэдра.
Ответ: Сечением является треугольник $ASD$.

Рис. 3.23

3.4. Точка $M$ принадлежит грани $ASC$ тетраэдра $SABC$, точка $D$ – ребру $BC$ (рис. 3.23).

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$.

3.4.

Чтобы построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Назовем секущую плоскость $\alpha$.

Построение:

1. Точки $S$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$ по условию. Так как точка $S$ является вершиной тетраэдра, а точка $D$ лежит на ребре $BC$, то обе точки принадлежат грани $SBC$. Следовательно, отрезок $SD$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$.
2. Точки $S$ и $M$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. По условию, точка $M$ лежит в грани $ASC$, точка $S$ также принадлежит этой грани. Следовательно, прямая $SM$ целиком лежит как в секущей плоскости $\alpha$, так и в плоскости грани $ASC$.
3. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ASC$. Для этого найдем точку пересечения прямой $SM$ с ребром $AC$ (прямые $SM$ и $AC$ лежат в одной плоскости $ASC$ и, в общем случае, пересекаются). Проведем прямую через точки $S$ и $M$ и продлим ее до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку пересечения буквой $E$.
4. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие сечению и грани $ASC$: $S$ и $E$. Отрезок $SE$ — это линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ASC$.
5. Точки $E$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Точка $E$ лежит на ребре $AC$, а точка $D$ — на ребре $BC$. Обе эти точки лежат в плоскости основания $ABC$. Следовательно, отрезок $ED$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABC$.
6. Соединив точки $S$, $E$ и $D$, получим треугольник $SED$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $SED$, где $E$ — точка пересечения прямой $SM$ с ребром $AC$.

3.5.

Требуется построить точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания $ABC$. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости можно использовать метод вспомогательных плоскостей.

Построение:

1. Выберем вспомогательную плоскость, содержащую прямую $MK$. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, а точка $K$ — на ребре $SB$. Оба ребра $SA$ и $SB$ образуют боковую грань $SAB$. Следовательно, прямая $MK$ полностью лежит в плоскости грани $SAB$. Примем плоскость $(SAB)$ в качестве вспомогательной.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(SAB)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эти две плоскости имеют две общие точки — $A$ и $B$. Следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.
3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на прямой $MK$. Также, поскольку прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(SAB)$, искомая точка должна лежать и в плоскости $(SAB)$. Таким образом, точка пересечения должна принадлежать одновременно плоскостям $(SAB)$ и $(ABC)$, то есть лежать на линии их пересечения — прямой $AB$.
4. Итак, искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому они пересекаются (если не параллельны). Для построения нужно продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим эту точку $P$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ — это точка $P$, полученная в результате пересечения прямых $MK$ и $AB$ ($P = MK \cap AB$).

3.5. На боковых рёбрах $SA$ и $SB$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Для того чтобы построить точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой, и плоскости. Воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

1. Прямая $MK$ лежит в плоскости боковой грани $SAB$, так как ее точки $M$ и $K$ по условию принадлежат боковым ребрам $SA$ и $SB$ этой грани ($M \in SA$, $K \in SB$). Назовем эту плоскость $(SAB)$ вспомогательной.

2. Искомая точка пересечения прямой $MK$ и плоскости $ABC$ должна лежать на прямой $MK$ и, следовательно, в плоскости $(SAB)$. Также эта точка по определению должна лежать в плоскости $ABC$. Значит, искомая точка принадлежит линии пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(ABC)$.

3. Линией пересечения плоскости боковой грани $(SAB)$ и плоскости основания $(ABC)$ является прямая $AB$, так как точки $A$ и $B$ принадлежат обеим этим плоскостям.

4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения двух прямых: $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому для нахождения их общей точки достаточно продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения (в общем случае, когда они не параллельны). Обозначим полученную точку как $P$.

Точка $P$ является искомой, так как она одновременно принадлежит прямой $MK$ и прямой $AB$, а значит, и плоскости $ABC$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $MK$ и прямой $AB$. Для ее построения необходимо в плоскости $(SAB)$ продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения.

3.6. На боковых рёбрах $SA$ и $SC$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD = 12$ см), ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата, то есть с точкой $O$. Таким образом, отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости квадрата, а его длина — это расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle MAO$. По условию, $\angle MAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$).Найдем длину проекции $OA$ и высоту $MO$:
$OA = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

$OA$ — это половина диагонали квадрата. Значит, диагональ $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 6 = 12$ см.Пусть сторона квадрата равна $a$. Длина диагонали квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.Отсюда найдем сторону квадрата:
$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AD$. Пусть $K$ — середина стороны $AD$. Тогда $OK$ — перпендикуляр из центра квадрата к стороне $AD$, и его длина равна половине стороны квадрата:
$OK = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Искомое расстояние — это длина наклонной $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$, так как $MO$ перпендикулярен плоскости квадрата, а значит, и любой прямой в этой плоскости).По теореме Пифагора:
$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$.
$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.

3.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через:

1) точки $A, C$ и $B_1$;

2) прямую $BD$ и точку $C_1$.

1) Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $B_1$.

Для построения сечения необходимо последовательно соединить заданные точки отрезками, лежащими в плоскостях граней куба.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости – плоскости нижнего основания $ABCD$. Следовательно, мы можем провести отрезок $AC$, который будет являться следом секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Точки $A$ и $B_1$ лежат в одной плоскости – плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $AB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.
3. Точки $C$ и $B_1$ лежат в одной плоскости – плоскости правой боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $CB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

В результате мы получаем замкнутую фигуру – треугольник $ACB_1$, который и является искомым сечением куба.

Стоит отметить, что стороны этого треугольника ($AC$, $AB_1$ и $CB_1$) являются диагоналями равных квадратов (граней куба). Если ребро куба равно $a$, то длина каждой из этих диагоналей равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, сечение представляет собой равносторонний треугольник.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $ACB_1$.

2) Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $BD$ и точку $C_1$.

Плоскость сечения задана прямой $BD$ и точкой $C_1$, не лежащей на этой прямой. Для построения сечения соединим эти элементы.

1. Так как секущая плоскость проходит через прямую $BD$, то отрезок $BD$ (диагональ нижнего основания) целиком принадлежит сечению. Это след секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Теперь рассмотрим точку $C_1$ и точки $B$ и $D$. Точки $B$ и $C_1$ лежат в одной плоскости – плоскости правой боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BC_1$. Это след секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.
3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в одной плоскости – плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $DC_1$. Это след секущей плоскости на грани $CDD_1C_1$.

Соединив точки $B$, $D$ и $C_1$, мы получаем замкнутую фигуру – треугольник $BDC_1$, который и является искомым сечением.

Как и в предыдущем пункте, стороны этого треугольника ($BD$, $BC_1$ и $DC_1$) являются диагоналями равных граней куба, а значит, они равны между собой. Следовательно, сечение представляет собой равносторонний треугольник.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $BDC_1$.

3.8. Постройте сечение призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямые $AC_1$ и $BC_1$.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через прямые $AC_1$ и $BC_1$, необходимо определить эту плоскость и найти линии ее пересечения с гранями призмы.

Определение секущей плоскости
Заданные прямые $AC_1$ и $BC_1$ имеют общую точку $C_1$, то есть они пересекаются. Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость. Эта плоскость содержит все точки обеих прямых, в частности, точки $A$, $B$ и $C_1$, которые не лежат на одной прямой. Таким образом, секущая плоскость — это плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C_1$, то есть плоскость $(ABC_1)$.

Построение линий пересечения (следов сечения)
Сечение многогранника плоскостью представляет собой многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Линия пересечения секущей плоскости $(ABC_1)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$ проходит через две общие точки $A$ и $B$. Следовательно, сторона сечения, лежащая на этой грани, — это отрезок $AB$.
Линия пересечения секущей плоскости $(ABC_1)$ с плоскостью боковой грани $(AA_1C_1C)$ проходит через две общие точки $A$ и $C_1$. Следовательно, сторона сечения, лежащая на этой грани, — это отрезок $AC_1$.
Линия пересечения секущей плоскости $(ABC_1)$ с плоскостью боковой грани $(BB_1C_1C)$ проходит через две общие точки $B$ и $C_1$. Следовательно, сторона сечения, лежащая на этой грани, — это отрезок $BC_1$.

Итоговая фигура сечения
Полученные отрезки $AB$, $AC_1$ и $BC_1$ образуют замкнутый многоугольник — треугольник $ABC_1$. Вершины этого треугольника ($A$, $B$, $C_1$) являются вершинами призмы. Стороны треугольника лежат на гранях призмы. Следовательно, треугольник $ABC_1$ и есть искомое сечение.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $ABC_1$.

3.9. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.24). Точка $E$ принадлежит прямой $A_1B_1$, точка $F$ – прямой $BB_1$, точка $M$ – прямой $B_1C_1$. Постройте сечение призмы плоскостью $EFM$.

Рис. 3.24

а

б

в

г

Для построения сечения призмы плоскостью EFM в каждом из четырех случаев мы будем использовать метод следов. Этот метод заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы и определении вершин сечения как точек пересечения этих следов с ребрами призмы.

В данном случае все три точки E, F и M лежат на ребрах призмы.

1. Точки E и M лежат на ребрах $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Оба ребра принадлежат верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, отрезок EM является стороной искомого сечения и лежит на верхней грани.
2. Точки E и F лежат на ребрах $A_1B_1$ и $BB_1$. Оба ребра принадлежат передней грани $AA_1B_1B$. Следовательно, отрезок EF является стороной сечения и лежит на передней грани.
3. Точки F и M лежат на ребрах $BB_1$ и $B_1C_1$. Оба ребра принадлежат боковой грани $BB_1C_1C$. Следовательно, отрезок FM является стороной сечения и лежит на этой боковой грани.
4. Соединив эти три отрезка, мы получаем треугольник EFM, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $EFM$.

В этом случае точки E и F лежат на продолжениях ребер, а точка M — на ребре.

1. Начнем с плоскости передней грани $AA_1B_1B$. В этой плоскости лежат точки E и F. Проведем прямую $EF$. Она является следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Найдем точки ее пересечения с ребрами призмы: пусть $P_1 = EF \cap A_1A$ и $P_2 = EF \cap AB$. Отрезок $P_1P_2$ — это сторона сечения на грани $AA_1B_1B$.
2. Рассмотрим плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. В ней лежат точки E и M. Проведем прямую $EM$. Она является следом секущей плоскости на плоскости этой грани. Точка M уже является вершиной сечения, так как лежит на ребре $B_1C_1$. Найдем вторую вершину как точку пересечения прямой $EM$ с другим ребром верхней грани: $P_3 = EM \cap A_1D_1$. Отрезок $MP_3$ — это сторона сечения.
3. Теперь у нас есть вершины $P_1$ и $P_3$, которые обе лежат в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$. Соединим их и получим сторону сечения $P_1P_3$.
4. Рассмотрим грань $BB_1C_1C$. На ней уже есть вершина M. В плоскости этой грани также лежат точки F и M. Прямая $FM$ является следом секущей плоскости. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $BC$: $P_4 = FM \cap BC$. Отрезок $MP_4$ — сторона сечения.
5. Наконец, соединим вершины, лежащие в плоскости нижнего основания $ABCD$. Это точки $P_2$ (на ребре $AB$) и $P_4$ (на ребре $BC$). Соединив их, получаем последнюю сторону сечения $P_2P_4$.
6. В результате мы построили замкнутый многоугольник $P_1P_2P_4MP_3$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $P_1P_2P_4MP_3$.

В этом случае все три точки E, F, M лежат на продолжениях ребер призмы.

1. След на грани $AA_1B_1B$: Точки E (на прямой $A_1B_1$) и F (на прямой $BB_1$) лежат в плоскости грани $AA_1B_1B$. Прямая $EF$ является следом секущей плоскости на этой грани. Находим точки пересечения прямой $EF$ с ребрами этой грани: $P_1 = EF \cap B_1B$ и $P_2 = EF \cap AB$. Отрезок $P_1P_2$ — сторона сечения.
2. След на грани $BB_1C_1C$: Точки F (на прямой $BB_1$) и M (на прямой $B_1C_1$) лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$. Прямая $FM$ является следом. Находим точки пересечения прямой $FM$ с ребрами этой грани: $P_3 = FM \cap BC$ и $P_4 = FM \cap C_1C$. Отрезок $P_3P_4$ — сторона сечения.
3. След на грани $A_1B_1C_1D_1$: Точки E (на прямой $A_1B_1$) и M (на прямой $B_1C_1$) лежат в плоскости грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $EM$ является следом. Находим точки пересечения прямой $EM$ с ребрами этой грани: $P_5 = EM \cap B_1C_1$ и $P_6 = EM \cap C_1D_1$. Отрезок $P_5P_6$ — сторона сечения.
4. Построение многоугольника сечения: Соединяем полученные вершины, которые лежат на одной грани, чтобы замкнуть контур сечения.
   • На грани $ABCD$ лежат точки $P_2 \in AB$ и $P_3 \in BC$. Соединяем их, получаем сторону $P_2P_3$.
   • На грани $DD_1C_1C$ лежат точки $P_4 \in C_1C$ и $P_6 \in C_1D_1$. Соединяем их, получаем сторону $P_4P_6$.
   • На грани $BB_1C_1C$ лежат точки $P_1 \in B_1B$ и $P_5 \in B_1C_1$. Соединяем их, получаем сторону $P_1P_5$.
5. Объединяя все найденные отрезки, получаем замкнутый многоугольник $P_1P_2P_3P_4P_6P_5P_1$.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $P_1P_2P_3P_4P_6P_5$.

В данном случае, как и в предыдущем, точки E, F, M лежат на продолжениях ребер. Для построения воспользуемся свойством параллельности следов на параллельных гранях.

1. След на верхней грани: Точки E и M лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Проведем прямую $EM$, которая является следом секущей плоскости на этой грани. Найдем ее точки пересечения с ребрами: $P_1 = EM \cap A_1D_1$ и $P_2 = EM \cap D_1C_1$. Отрезок $P_1P_2$ — сторона сечения.
2. След на нижней грани: Плоскость нижнего основания $ABCD$ параллельна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, след секущей плоскости на нижней грани будет параллелен следу на верхней грани, то есть прямой $EM$.
3. Чтобы построить след на нижней грани, найдем хотя бы одну его точку. Для этого найдем точку пересечения прямой $EF$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью основания $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости передней грани $AA_1B_1B$, которая пересекает плоскость основания по прямой $AB$. Пусть $K = EF \cap AB$. Точка K принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, а значит, лежит на их линии пересечения (следе).
4. Теперь через точку K проведем прямую, параллельную $EM$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости основания. Найдем точки пересечения этого следа с ребрами основания: $P_3 = K P_3 \cap AD$ и $P_4 = K P_4 \cap CD$. Отрезок $P_3P_4$ — сторона сечения.
5. Завершение построения: У нас есть четыре вершины сечения: $P_1 \in A_1D_1$, $P_2 \in D_1C_1$, $P_3 \in AD$, $P_4 \in CD$. Соединим вершины, лежащие на боковых гранях:
   • $P_1$ и $P_3$ лежат на грани $AA_1D_1D$. Соединяем их, получаем сторону $P_1P_3$.
   • $P_2$ и $P_4$ лежат на грани $CC_1D_1D$. Соединяем их, получаем сторону $P_2P_4$.
6. В результате получаем четырехугольник $P_1P_2P_4P_3$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $P_1P_2P_4P_3$.

3.10. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.25). Точка $D$ принадлежит прямой $AC$, точка $E$ – ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $DEC_1$.

Рис. 3.25

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $(DEC_1)$ будем использовать метод следов. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Точки $E$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, мы получаем отрезок $EC_1$, который является стороной искомого сечения.

2. Точки $D$ и $E$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Проведем через них прямую $DE$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости основания призмы. Прямая $DE$ пересекает ребро $AB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $M$. Отрезок $ME$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABC$.

3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$ (поскольку точка $D$ принадлежит прямой $AC$). Проведем через них прямую $DC_1$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани $ACC_1A_1$. Прямая $DC_1$ пересекает ребро $AA_1$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $K$.

4. Мы получили четыре вершины сечения, которые лежат на ребрах призмы (или являются ее вершинами): $K$ на ребре $AA_1$, $M$ на ребре $AB$, $E$ на ребре $BC$ и вершина $C_1$. Последовательно соединим эти точки. Отрезок $KM$ лежит на грани $ABB_1A_1$, так как обе точки принадлежат этой грани. В результате получаем четырехугольник $KMEC_1$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $KMEC_1$, где точка $M$ — это точка пересечения прямой $DE$ с ребром $AB$, а точка $K$ — это точка пересечения прямой $DC_1$ с ребром $AA_1$.

3.11. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 3.26). Точка $D$ принадлежит прямой $CC_1$, точка $E$ – ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $AED$.

Рис. 3.26

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $AED$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Построение выполняется пошагово методом следов.

1. Точки $A$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AE$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$ и одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $E$ и $D$ принадлежат секущей плоскости, а также лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ (так как $E \in BC$, а $D \in CC_1$). Это означает, что прямая $ED$ является следом секущей плоскости на плоскости $(BCC_1)$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром призмы, принадлежащим данной грани. Прямая $ED$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке, которую мы обозначим $K$. Таким образом, $K = ED \cap B_1C_1$. Отрезок $EK$ — это сторона сечения, лежащая на грани $BCC_1B_1$.

3. Аналогично, точки $A$ и $D$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$ (так как $A$ — вершина призмы, а $D \in CC_1$). Прямая $AD$ является следом секущей плоскости на плоскости $(ACC_1A_1)$. Найдем точку пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$ и обозначим ее $L$. Таким образом, $L = AD \cap A_1C_1$. Отрезок $AL$ — это еще одна сторона сечения, которая лежит на грани $ACC_1A_1$.

4. В результате предыдущих шагов мы получили две новые вершины сечения: точку $K$ на ребре $B_1C_1$ и точку $L$ на ребре $A_1C_1$. Обе эти точки лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Соединив их, мы получим отрезок $KL$, который является следом секущей плоскости на верхней грани $A_1B_1C_1$ и последней стороной искомого сечения.

5. Последовательно соединив точки $A$, $E$, $K$ и $L$, мы получаем замкнутый четырехугольник $AEKL$. Этот четырехугольник и есть искомое сечение призмы плоскостью $AED$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEKL$, где $K$ — точка пересечения прямой $ED$ с ребром $B_1C_1$, а $L$ — точка пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$.

3.12. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ тетраэдра $SABC$, точка $K$ – грани $BSC$ (рис. 3.27). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.27

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ используется метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной плоскости, содержащей прямую $MK$, и нахождении её следа (линии пересечения) с плоскостью $(ABC)$. Искомая точка будет лежать на пересечении прямой $MK$ и этого следа.

1. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую $MK$ и вершину тетраэдра $S$. Обозначим эту плоскость $\sigma = (SMK)$.
2. Найдём след плоскости $\sigma$ на плоскости $(ABC)$. Для этого достаточно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
3. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(ASB)$. Проведём прямую через точки $S$ и $M$. Эта прямая $SM$ также лежит в плоскости $(ASB)$. Найдём точку пересечения прямой $SM$ с прямой $AB$, которая также принадлежит плоскости $(ASB)$. Обозначим эту точку $M_1$. Таким образом, $M_1 = SM \cap AB$. Точка $M_1$ лежит на прямой $AB$, следовательно, она принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $M_1$ лежит на прямой $SM$, а значит, принадлежит и вспомогательной плоскости $\sigma$.
4. Аналогично, точка $K$ лежит в плоскости грани $(BSC)$. Проведём прямую $SK$, которая лежит в плоскости $(BSC)$. Найдём точку пересечения прямой $SK$ с прямой $BC$. Обозначим эту точку $K_1$. Таким образом, $K_1 = SK \cap BC$. Точка $K_1$ лежит на прямой $BC$, следовательно, она принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $K_1$ лежит на прямой $SK$ и принадлежит вспомогательной плоскости $\sigma$.
5. Мы нашли две точки $M_1$ и $K_1$, принадлежащие одновременно плоскости $(ABC)$ и вспомогательной плоскости $\sigma$. Прямая $M_1K_1$, проходящая через эти точки, является линией пересечения (следом) плоскости $\sigma$ с плоскостью $(ABC)$.
6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ по определению должна лежать на прямой $MK$ и в плоскости $(ABC)$. Из предыдущего шага следует, что все общие точки плоскости $\sigma$ (которой принадлежит прямая $MK$) и плоскости $(ABC)$ лежат на прямой $M_1K_1$. Следовательно, искомая точка является пересечением прямых $MK$ и $M_1K_1$.
7. Построим прямые $MK$ и $M_1K_1$. Так как обе прямые лежат в одной плоскости $\sigma$, они пересекутся в некоторой точке $P$ (если не параллельны). Эта точка $P$ и есть искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MK$ и прямой $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых $SM$ и $AB$, а $K_1$ — точка пересечения прямых $SK$ и $BC$.