Номер 6, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 6, страница 22.

Условие.

3.6. На боковых рёбрах $SA$ и $SC$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата ($MA = MB = MC = MD = 12$ см), ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата, то есть с точкой $O$. Таким образом, отрезок $MO$ является перпендикуляром к плоскости квадрата, а его длина — это расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle MAO$. По условию, $\angle MAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$).Найдем длину проекции $OA$ и высоту $MO$:
$OA = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
$MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

$OA$ — это половина диагонали квадрата. Значит, диагональ $AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot 6 = 12$ см.Пусть сторона квадрата равна $a$. Длина диагонали квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$.Отсюда найдем сторону квадрата:
$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AD$. Пусть $K$ — середина стороны $AD$. Тогда $OK$ — перпендикуляр из центра квадрата к стороне $AD$, и его длина равна половине стороны квадрата:
$OK = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Искомое расстояние — это длина наклонной $MK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$, так как $MO$ перпендикулярен плоскости квадрата, а значит, и любой прямой в этой плоскости).По теореме Пифагора:
$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$.
$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.